Serie con esponente fratto negativo

[fifty_50]

Salve a tutti,
sono alle prese con questa serie che mi sta dando parecchio filo da torcere..

$ sum_(n = 1)^(infty) n^(-n/(log(n)+1)) $

Applicando il criterio del confronto asintotico dopo aver operato con i limiti notevoli all'esponente, mi risulta che la serie di partenza è asintoticamente equivalente alla serie armonica e pertanto dovebbe divergere positivamente; utilizzando un calcolatore online invece mi risulta che la serie converge
Qualcuno potrebbe aiutarmi?
Grazie in anticipo a chi risponderà

[taurus85]

secondo me converge basta a mio avviso applicare il criterio del confronto asintotico, prima cosa il limite per oo della ragione è 0 in quanto scrivi la ragione nella forma (1/n)^((n/(logn +1)), applicando il confronto fra infiniti logn+1 $=$ logn, n/logn $=$ n in quanto l' infinito di n è piu veloce dell' infinito di logn quindi rimane 1/n^n che è 0, ma la serie armonica 1/n^n converge......

[Berationalgetreal]

Non serve ricorrere al confronto asintotico. Definitivamente, $ -\frac{n}{\ln(n+1)} < -2$ poichè $-\frac{n}{\ln(n+1)} \to - \infty$, quindi per la monotonia della funzione potenza con base maggiore di 1,

\[ n^{-\frac{n}{\ln (n+1)}} < n^{-2} = \frac{1}{n^2}\]

La serie armonica di grado $2$ è convergente, quindi lo è tutto ciò che maggiora, in particolare la serie che stai studiando.

[fifty_50]

Ragazzi però l'argomento del logaritmo è solo n, non n+1. Qualcuno può aiutarmi con questa serie?

[Berationalgetreal]

Non cambia niente; nel confronto tra infiniti, quel $1$ non ha alcuna rilevanza. Quel limite tende ancora a $- \infty$, quindi la serie è comunque maggiorata dalla serie armonica di grado $2$.