Serie con doppio indice
Salve,
Ho un dubbio di teoria.
Sto studiando analisi complessa, e a un certo punto nei miei appunti si dà per noto il seguente fatto:
Siano $z_(h,k) in CC$ $AA h,k in NN$, allora vale:
$sum_(k=0)^oosum_(h=0)^ooz_(h,k)=sum_(h=0)^oosum_(k=0)^ooz_(h,k)$ sotto ipotesi di assoluta convergenza
(interpretabile... io credo intendesse che converge $sum_(h,k=0)^oo|z_(h,k)|$).
Il fatto è che non mi ricordo di aver fatto questa dimostrazione nei corsi di analisi, allora ho provato a fabbricarmene una che adesso vi sottopongo sperando sia giusta e non troppo macchinosa (anche perché non sono sicurissimo delle definizioni con i doppi indici).
Lemma
Sia $a_(m,n)$ una successione a doppio indice (supponiamo a valori complessi, per fissare le idee)
Supponiamo $lim_(m,n->oo) a_(m,n)=a$
Allora se $AA m in NN$ $EE lim_(n->oo)a_(m,n)=b_m$ vale che $lim_(m->oo)b_m=lim_(m->oo)lim_(n->oo) a_(m,n)=a$
dim
$lim_(m,n->oo) a_(m,n)=a$ significa che $AA \epsilon>0 EE N in NN$ tale che $AA m,n>=N$ $|a_(m,n)-a|<\epsilon$
Allora $|lim_(n->oo)a_(m,n)-a|=|b_m-a|<\epsilon$, da cui per definizione $lim_(m->oo)b_m=a$ quindi la tesi.
Osservazione
Con ipotesi analoghe vale $lim_(n->oo)lim_(m->oo) a_(m,n)=a$.
Nel nostro caso abbiamo che:
$sum_(h,k=0)^ooz_(h,k)$=$lim_(m,n->oo)sum_(h=0)^m sum_(k=0)^n z_(h,k)$=$lim_(m,n->oo)S_(m,n)$
Adesso ho che $sum_(h,k=0)^oo |z_(h,k)|$ converge,
ma allora fissando $h$ vale $sum_(k=0)^oo |z_(h,k)|$ converge (serie a termini $>=0$ che non diverge)
quindi $sum_(k=0)^oo z_(h,k)$ converge,
quindi fissato $m$ vale $sum_(h=0)^m sum_(k=0)^oo z_(h,k)$ converge (somma finita di serie convergenti).
Quindi per il lemma $sum_(h=0)^oo sum_(k=0)^oo z_(h,k)=sum_(h,k=0)^oo z_(h,k)$
Si può ripetere il ragionamento scambiando l'ordine delle somme e ottengo:
$sum_(k=0)^oo sum_(h=0)^oo z_(h,k)=sum_(h,k=0)^oo z_(h,k)$
Quindi la tesi.
Scusate la lunghezza del post, attendo conferme o smentite, grazie in anticipo
EDIT: aggiustato formula
Ho un dubbio di teoria.
Sto studiando analisi complessa, e a un certo punto nei miei appunti si dà per noto il seguente fatto:
Siano $z_(h,k) in CC$ $AA h,k in NN$, allora vale:
$sum_(k=0)^oosum_(h=0)^ooz_(h,k)=sum_(h=0)^oosum_(k=0)^ooz_(h,k)$ sotto ipotesi di assoluta convergenza
(interpretabile... io credo intendesse che converge $sum_(h,k=0)^oo|z_(h,k)|$).
Il fatto è che non mi ricordo di aver fatto questa dimostrazione nei corsi di analisi, allora ho provato a fabbricarmene una che adesso vi sottopongo sperando sia giusta e non troppo macchinosa (anche perché non sono sicurissimo delle definizioni con i doppi indici).
Lemma
Sia $a_(m,n)$ una successione a doppio indice (supponiamo a valori complessi, per fissare le idee)
Supponiamo $lim_(m,n->oo) a_(m,n)=a$
Allora se $AA m in NN$ $EE lim_(n->oo)a_(m,n)=b_m$ vale che $lim_(m->oo)b_m=lim_(m->oo)lim_(n->oo) a_(m,n)=a$
dim
$lim_(m,n->oo) a_(m,n)=a$ significa che $AA \epsilon>0 EE N in NN$ tale che $AA m,n>=N$ $|a_(m,n)-a|<\epsilon$
Allora $|lim_(n->oo)a_(m,n)-a|=|b_m-a|<\epsilon$, da cui per definizione $lim_(m->oo)b_m=a$ quindi la tesi.
Osservazione
Con ipotesi analoghe vale $lim_(n->oo)lim_(m->oo) a_(m,n)=a$.
Nel nostro caso abbiamo che:
$sum_(h,k=0)^ooz_(h,k)$=$lim_(m,n->oo)sum_(h=0)^m sum_(k=0)^n z_(h,k)$=$lim_(m,n->oo)S_(m,n)$
Adesso ho che $sum_(h,k=0)^oo |z_(h,k)|$ converge,
ma allora fissando $h$ vale $sum_(k=0)^oo |z_(h,k)|$ converge (serie a termini $>=0$ che non diverge)
quindi $sum_(k=0)^oo z_(h,k)$ converge,
quindi fissato $m$ vale $sum_(h=0)^m sum_(k=0)^oo z_(h,k)$ converge (somma finita di serie convergenti).
Quindi per il lemma $sum_(h=0)^oo sum_(k=0)^oo z_(h,k)=sum_(h,k=0)^oo z_(h,k)$
Si può ripetere il ragionamento scambiando l'ordine delle somme e ottengo:
$sum_(k=0)^oo sum_(h=0)^oo z_(h,k)=sum_(h,k=0)^oo z_(h,k)$
Quindi la tesi.
Scusate la lunghezza del post, attendo conferme o smentite, grazie in anticipo
EDIT: aggiustato formula
Risposte
Il fatto è che le serie assolutamente convergenti sono anche incondizionatamente convergenti, i.e. la loro somma non dipende in alcun modo dall'ordine degli addendi.
P.S.: Lo scambio dei limiti non è sempre lecito.
P.S.: Lo scambio dei limiti non è sempre lecito.
"gugo82":
Il fatto è che le serie assolutamente convergenti sono anche incondizionatamente convergenti, i.e. la loro somma non dipende in alcun modo dall'ordine degli addendi.
Quindi non serviva farla lunga come l'ho fatta io?
Se ho capito cosa vuoi dire, intendi il teorema che dice che
se $sum_(n=0)^oox_n$ converge assolutamente allora $AA \sigma:NN->NN$ permutazione degli indici vale
$sum_(n=0)^oox_n= sum_(n=0)^oox_(\sigma(n))$.
Avevo pensato anch'io di sfruttare questo fatto, ma non sono riuscito a usarlo, potresti farmi vedere come si fa?
"gugo82":
P.S.: Lo scambio dei limiti non è sempre lecito.
Ok immaginavo... Ma con le ipotesi che ho messo io funziona?
"jinsang":
Lemma
Sia $ a_(m,n) $ una successione a doppio indice (supponiamo a valori complessi, per fissare le idee)
Supponiamo $ lim_(m,n->oo) a_(m,n)=a $
Allora se $ AA m in NN $ $ EE lim_(n->oo)a_(m,n)=b_m $ vale che $ lim_(m->oo)b_m=lim_(m->oo)lim_(n->oo) a_(m,n)=a $
dim
$ lim_(m,n->oo) a_(m,n)=a $ significa che $ AA \epsilon>0 EE N in NN $ tale che $ AA m,n>=N $ $ |a_(m,n)-a|<\epsilon $
Allora $ |lim_(n->oo)a_(m,n)-a|=|b_m-a|<\epsilon $, da cui per definizione $ lim_(m->oo)b_m=a $ quindi la tesi.
Osservazione
Con ipotesi analoghe vale $ lim_(n->oo)lim_(m->oo) a_(m,n)=a $.
Grazie per la risposta
Nel caso qualcuno avesse a che fare con problemi simili, ho trovato queste note
http://www2.iugaza.edu.ps/ar/periodical/articles/volume%2014-%20Issue%201%20-studies%20-16.pdf
che mi sembrano molto complete.
http://www2.iugaza.edu.ps/ar/periodical/articles/volume%2014-%20Issue%201%20-studies%20-16.pdf
che mi sembrano molto complete.
Si chiama "teorema di Fubini", per le serie. Sul libro di Rudin, Analisi reale e complessa, ce n'è una dimostrazione interessante e relativamente elementare.
"dissonance":
Si chiama "teorema di Fubini", per le serie. Sul libro di Rudin, Analisi reale e complessa, ce n'è una dimostrazione interessante e relativamente elementare.
Ho provato a cercarlo ma non lo trovo
Io leggo "real and complex analysis" (third edition) di W. Rudin
Grazie comunque per la segnalazione, magari lo cerco ancora domattina, con più calma.
Si, il libro è quello. Che cosa non trovi? Il libro o il teorema?
Il teorema ahah
Ho trovato solo Fubini classico (con gli integrali)
Ho trovato solo Fubini classico (con gli integrali)
Questo è un caso particolare, come le serie sono un caso particolare di integrale (sono integrali rispetto alla misura che conta, su \(\mathbb N\) o \(\mathbb Z\)). Mi pare che ci fosse anche un remark con il teorema per le serie, fatto a parte.
Ah no, è su "Principles of mathematical analysis", sempre di Rudin, teorema 8.3 pagina 175. Ma di sicuro ne parlerà pure sull'altro libro. Ricorda, comunque, che in ultima analisi questo non è altro che un caso particolare di Fubini.
Trovato! Ti ringrazio molto.
Grazie anche per questa dritta, è una cosa su cui non avevo riflettuto abbastanza.
"dissonance":
Ricorda, comunque, che in ultima analisi questo non è altro che un caso particolare di Fubini.
Grazie anche per questa dritta, è una cosa su cui non avevo riflettuto abbastanza.
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