Serie con criterio della radice
Buonasera, devo determinare il carattere della seguente serie:
$ sum_(n=1)^(infty)[n!log^n(1+2/n)] $
Applico il criterio della radice, ma il risultato del limite ($ 2/e $), che implica la convergenza della serie, non mi esce. Non so come sia possibile, potreste svolgere il limite della radice n-esima, per favore?
$ sum_(n=1)^(infty)[n!log^n(1+2/n)] $
Applico il criterio della radice, ma il risultato del limite ($ 2/e $), che implica la convergenza della serie, non mi esce. Non so come sia possibile, potreste svolgere il limite della radice n-esima, per favore?
Risposte
Posso fare nel seguente modo? Tolgo l'elevamento alla $ n $ del logaritmo grazie alla radice n-esima, dunque:
$ lim_(n -> infty) {n!}^(1/n)log(1+2/n) $ e considero il fatto che quel logaritmo è asintoticamente equivalente a $ 2/n $.
Poi procedo così:
$ lim_(n -> infty) (n!^(1/n))/n(n)2/n $ e dunque il risultato è $ 2/e$. E' giusto fare così?
$ lim_(n -> infty) {n!}^(1/n)log(1+2/n) $ e considero il fatto che quel logaritmo è asintoticamente equivalente a $ 2/n $.
Poi procedo così:
$ lim_(n -> infty) (n!^(1/n))/n(n)2/n $ e dunque il risultato è $ 2/e$. E' giusto fare così?
"floyd123":
$ lim_(n -> infty) (n!^(1/n))/n(n)2/n $ e dunque il risultato è $ 2/e$. E' giusto fare così?
Non si capisce niente, ma lo avete fatto il $lim_{n->+\infty}(n!)^(1/n)$?
"otta96":
[quote="floyd123"]$ lim_(n -> infty) (n!^(1/n))/n(n)2/n $ e dunque il risultato è $ 2/e$. E' giusto fare così?
Non si capisce niente, ma lo avete fatto il $lim_{n->+\infty}(n!)^(1/n)$?[/quote]
Ho usato il limite notevole per avere $ 1/e $... ho moltiplicato e diviso per $ n $
Ah si ok, ora ho capito cosa intendevi... va bene.
Ciao floyd123,
Invece di applicare il criterio della radice, penso sia meglio applicare quello del rapporto:
Innanzitutto $ n!(log^n(1+2/n))=n!*(log(1+2/n))^n $ $ ~ $ $ n!*(2/n)^n $
Applico il criterio del rapporto $ =>lim_(n ->+oo ) a_(n+1)/a_n=lim_(n ->+ oo )(n+1)!*2^(n+1)/(n+1)^(n+1)*1/(n!)*n^n/2^n=lim_(n ->+ oo )2*(n/(n+1))^n=lim_(n ->+ oo )2*(1-1/(n+1))^n=2/e $
Ecco qui, spero di non aver sbagliato nulla
Invece di applicare il criterio della radice, penso sia meglio applicare quello del rapporto:
Innanzitutto $ n!(log^n(1+2/n))=n!*(log(1+2/n))^n $ $ ~ $ $ n!*(2/n)^n $
Applico il criterio del rapporto $ =>lim_(n ->+oo ) a_(n+1)/a_n=lim_(n ->+ oo )(n+1)!*2^(n+1)/(n+1)^(n+1)*1/(n!)*n^n/2^n=lim_(n ->+ oo )2*(n/(n+1))^n=lim_(n ->+ oo )2*(1-1/(n+1))^n=2/e $
Ecco qui, spero di non aver sbagliato nulla
"otta96":
Ah si ok, ora ho capito cosa intendevi... va bene.
Grazie
"Papercut":
Ciao floyd123,
Invece di applicare il criterio della radice, penso sia meglio applicare quello del rapporto:
Innanzitutto $ n!(log^n(1+2/n))=n!*(log(1+2/n))^n $ $ ~ $ $ n!*(2/n)^n $
Applico il criterio del rapporto $ =>lim_(n ->+oo ) a_(n+1)/a_n=lim_(n ->+ oo )(n+1)!*2^(n+1)/(n+1)^(n+1)*1/(n!)*n^n/2^n=lim_(n ->+ oo )2*(n/(n+1))^n=lim_(n ->+ oo )2*(1-1/(n+1))^n=2/e $
Ecco qui, spero di non aver sbagliato nulla
D'accordo, grazie!
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