Serie con criterio del rapporto

[sine nomine1]

Giorno,
sto cercando di risolvere la seguente serie e sono bloccato
$ sum_(n = 0)^oo (root(4)((2n)!))/((n+2)^(n/2)) $
sono partito applicando il criterio del rapporto ottenendo
$ lim_(n -> oo) (root(4)((2(n+1))!))/((n+3)^((n+1)/2))*((n+2)^(n/2))/(root(4)((2n)!))= $
$ =lim_(n -> oo) (root(4)((2n+2)(2n+1)(2n)!))/((n+3)^((n+1)/2))*((n+2)^(n/2))/(root(4)((2n)!))= $
$ =lim_(n -> oo) root(4)(((2n+2)(2n+1)(2n)!)/((2n)!))*((n+2)^(n/2))/((n+3)^((n+1)/2))= $
$ =lim_(n -> oo) root(4)((2n+2)(2n+1))*((n+2)^(n/2))/((n+3)^((n+1)/2))= $
$ =lim_(n -> oo) root(4)(4n^2+6n+3)*((n+2)^(n/2))/((n+3)^((n+1)/2))= $
$ =lim_(n -> oo) root(4)(4n^2)*((n+2)^(n/2))/((n+3)^((n+1)/2))= $
$ =lim_(n -> oo) sqrt(2)sqrt(n)*((n+2)^(n/2))/((n+3)^((n+1)/2))= $
$ =sqrt(2)lim_(n -> oo) sqrt(n)*((n+2)^(n/2))/((n+3)^((n+1)/2)) $

da qui in poi cosa dovrei fare? (sempre se non ho già sbagliato qualcosa in precedenza )
Grazie per l'aiuto.

[spugna2]

$((n+2)^(n/2))/((n+3)^((n+1)/2))=$
$=1/sqrt(n+3) ({n+2}/{n+3})^{n/2}=$
$=1/sqrt (n+3) [(1-1/(n+3))^(n+3)]^(n/(2 (n+3)))$

Da qui sai concludere?

[sine nomine1]

Sinceramente no, ho capito i passaggi che hai fatto e che l'hai riscritto in modo da sfruttare il limite notevole di Nepero, ma una volta sostituito quel pezzo con e come si continua?

[spugna2]

Intanto $sqrt (n+3) $ e $sqrt (n) $ si semplificano (nel senso che il rapporto tende a $1$), perciò rimane un elevamento a potenza in cui la base (quella tra parentesi quadre) tende a $1/e $ e l'esponente a $1/2$, e non trattandosi di una forma indeterminata basta sostituire questi valori: il risultato finale dovrebbe essere $sqrt (2/e) $.

[sine nomine1]

C'ero quasi arrivato, solo che avevo sostituito e alla base invece che 1/e, ottenendo naturalmente un risultato sbagliato. Grazie mille!