Serie con criterio del confronto
allora ragazzi questo e il secondo topic su questo esercizio scusate se insisto ma le risposte non sono soddisfacenti per capire
allora si tratta di una serie
$\sum_{k=1}^infty ((cos(1/k)-1)(log(k^2/(k+1)))$
nel altro topic mi è stato detto di provare il confronto con la serie armonica generalizzata cioè considerandola maggiorante del valore assoluto del termine generale della mia serie cioe
$|-1/(2k^2)[log(k^2)-log(k+1)]|<1/(k^(2))$ quindi con semplici operazioni arrivo a scrivere
$ log(k)-(log(k+1))/2<1$ quindi se questa cosa è vera posso dire che la mia serie di partenza converge assolutamente.
ma non so se tutto quello che ho scritto è sbagliato grazie anticipatamente
allora si tratta di una serie
$\sum_{k=1}^infty ((cos(1/k)-1)(log(k^2/(k+1)))$
nel altro topic mi è stato detto di provare il confronto con la serie armonica generalizzata cioè considerandola maggiorante del valore assoluto del termine generale della mia serie cioe
$|-1/(2k^2)[log(k^2)-log(k+1)]|<1/(k^(2))$ quindi con semplici operazioni arrivo a scrivere
$ log(k)-(log(k+1))/2<1$ quindi se questa cosa è vera posso dire che la mia serie di partenza converge assolutamente.
ma non so se tutto quello che ho scritto è sbagliato grazie anticipatamente
Risposte
Nell' affrantare lo studio della serie, osservato che si tratta di una serie a termini definitivamente negativi, possiamo applicare il criterio del confronto asintotico: allora quando $k\to+\infty$ si ha
\begin{align}
\left(\cos\frac{1}{k}-1\right)\ln\left(\frac{k^2}{k+1}\right)\sim-\frac{\ln k }{2k^2} \sim-\frac{ 1}{2k^2\ln^{-1} k} ,
\end{align}
da cui puoi facilmente concludere.
\begin{align}
\left(\cos\frac{1}{k}-1\right)\ln\left(\frac{k^2}{k+1}\right)\sim-\frac{\ln k }{2k^2} \sim-\frac{ 1}{2k^2\ln^{-1} k} ,
\end{align}
da cui puoi facilmente concludere.
scusami come fai a dire questa cosa: $ ln(k^2/(k+1))~ln(k)$ su la tabella degli asintotici ce scritto solo che $ln(k+1)~k$
Se $x\to0$ allora vale
\[\ln(1+x)\sim x\]
ma se $x\to\+infty$ quello che hai scritto tu non vale, ma vale semplicemente
\[\ln(1+x)\sim \ln x;\]
stai studiando il carattere di una serie, quindi ti interessa l'andamento a $+\infty$ e non a $0.$ Deve essere chiaro cosa vogliono riassumere le tabelle,per essere utilizzate opportunamente.....
\[\ln(1+x)\sim x\]
ma se $x\to\+infty$ quello che hai scritto tu non vale, ma vale semplicemente
\[\ln(1+x)\sim \ln x;\]
stai studiando il carattere di una serie, quindi ti interessa l'andamento a $+\infty$ e non a $0.$ Deve essere chiaro cosa vogliono riassumere le tabelle,per essere utilizzate opportunamente.....
questa cosa non la sapevo ma su internet non si trovano le tabelle degli asintotici per x che tende a infinito
Su internet? Ma un libro?
non ci sono sul mio libro ho trovato solo quelli per x che tende a 0... 
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