Serie complessa oscillante
Dimostrare che $AAtin(0,2pi)$ la serie $\sum_{n=1}^(+infty) cos(nt)/n+(isin(nt))/n$ converge.
Io ho fatto cosi: intanto riscrivo $\sum_{n=1}^(+infty) cos(nt)/n+(isin(nt))/n$ come $\sum_{n=1}^(+infty) cos(nt)/n+i\sum_{n=1}^(+infty) sin(nt)/n$. Da qui uso il teorema di Abel-Dirichlet sulle due serie che dice: Siano $a_n$ e $b_n$ due successioni tali che: le somme parziali $s_n$ di $a_n$ sono limitate, ossia $EEM>0$ tale che $|s_n|<=M$ $AAninNN$ dove $s_n=a_1+...+a_n$, $b_n$ tende a $0$ per $n$ che tende a $+infty$ e infine $b_n$ è una successione decrescente, allora $\sum_{n} a_n*b_n$ converge. Nel caso di $\sum_{n=1}^(+infty) cos(nt)/n$ poniamo $a_n=cos(nt)$ e $b_n=1/n$ mentre nel caso di $\sum_{n=1}^(+infty) sin(nt)/n$ poniamo $a_n=sin(nt)$ e $b_n=1/n$. In entrambi i casi si ha che $b_n$ è decrescente e per $n$ che tende a $+infty$ si ha che $b_n$ tende a $0$, ci rimane da dimostrare che le somme parziali delle due successioni $a_n$ sono limitate. Osserviamo che $\sum_{k=0}^(n) cos(kt)+i\sum_{k=0}^(n) sin(kt)=\sum_{k=0}^(n) (e^i)^(kt)=(1-e^(i(nt+1)))/(1-e^i)$, abbiamo quindi che $\sum_{k=0}^(n) cos(kt)=Re((1-e^(i(nt+1)))/(1-e^i))$ e $\sum_{k=0}^(n) sin(kt)=Im((1-e^(i(nt+1)))/(1-e^i))$. Usando che $|Re(z)|<=|z|$ e $|Im(z)|<=|z|$ per ogni $zinCC$ usiamo la stima su $|(1-e^(i(nt+1)))/(1-e^i)|<=(|1|+|e^(i(nt+1))|)/|1+e^i|=2/|1+e^i|=M$ (ho usato che $|e^(i(nt+1))|=1$). Quindi le ipotesi sul teorema di Abel-Dirichlet sono tutte soddisfatte per cui $\sum_{n=1}^(+infty) cos(nt)/n$ e $\sum_{n=1}^(+infty) sin(nt)/n$ convergono ma allora anche $\sum_{n=1}^(+infty) cos(nt)/n+(isin(nt))/n=\sum_{n=1}^(+infty) cos(nt)/n+i\sum_{n=1}^(+infty) sin(nt)/n$ converge.
Può andare bene?
Io ho fatto cosi: intanto riscrivo $\sum_{n=1}^(+infty) cos(nt)/n+(isin(nt))/n$ come $\sum_{n=1}^(+infty) cos(nt)/n+i\sum_{n=1}^(+infty) sin(nt)/n$. Da qui uso il teorema di Abel-Dirichlet sulle due serie che dice: Siano $a_n$ e $b_n$ due successioni tali che: le somme parziali $s_n$ di $a_n$ sono limitate, ossia $EEM>0$ tale che $|s_n|<=M$ $AAninNN$ dove $s_n=a_1+...+a_n$, $b_n$ tende a $0$ per $n$ che tende a $+infty$ e infine $b_n$ è una successione decrescente, allora $\sum_{n} a_n*b_n$ converge. Nel caso di $\sum_{n=1}^(+infty) cos(nt)/n$ poniamo $a_n=cos(nt)$ e $b_n=1/n$ mentre nel caso di $\sum_{n=1}^(+infty) sin(nt)/n$ poniamo $a_n=sin(nt)$ e $b_n=1/n$. In entrambi i casi si ha che $b_n$ è decrescente e per $n$ che tende a $+infty$ si ha che $b_n$ tende a $0$, ci rimane da dimostrare che le somme parziali delle due successioni $a_n$ sono limitate. Osserviamo che $\sum_{k=0}^(n) cos(kt)+i\sum_{k=0}^(n) sin(kt)=\sum_{k=0}^(n) (e^i)^(kt)=(1-e^(i(nt+1)))/(1-e^i)$, abbiamo quindi che $\sum_{k=0}^(n) cos(kt)=Re((1-e^(i(nt+1)))/(1-e^i))$ e $\sum_{k=0}^(n) sin(kt)=Im((1-e^(i(nt+1)))/(1-e^i))$. Usando che $|Re(z)|<=|z|$ e $|Im(z)|<=|z|$ per ogni $zinCC$ usiamo la stima su $|(1-e^(i(nt+1)))/(1-e^i)|<=(|1|+|e^(i(nt+1))|)/|1+e^i|=2/|1+e^i|=M$ (ho usato che $|e^(i(nt+1))|=1$). Quindi le ipotesi sul teorema di Abel-Dirichlet sono tutte soddisfatte per cui $\sum_{n=1}^(+infty) cos(nt)/n$ e $\sum_{n=1}^(+infty) sin(nt)/n$ convergono ma allora anche $\sum_{n=1}^(+infty) cos(nt)/n+(isin(nt))/n=\sum_{n=1}^(+infty) cos(nt)/n+i\sum_{n=1}^(+infty) sin(nt)/n$ converge.
Può andare bene?
Risposte
Ciao andreadel1988,
Vedo qualche errore, che però non inficia la dimostrazione, quando
In realtà è corretto
$\sum_{k=0}^(n) cos(kt)+i\sum_{k=0}^(n) sin(kt)=\sum_{k=0}^(n) (e^{it})^k =(1-e^(i(n+1)t))/(1-e^{it})$
C'è un errore analogo nelle maggiorazioni seguenti.
Ricordo di aver trattato di una serie simile un po' di tempo fa, però era più semplice perché a denominatore c'era $2^n $ invece di $n$ come in questo caso.
Vedo qualche errore, che però non inficia la dimostrazione, quando
"andreadel1988":
$\sum_{k=0}^(n) cos(kt)+i\sum_{k=0}^(n) sin(kt)=\sum_{k=0}^(n) (e^i)^(kt)=(1-e^(i(nt+1)))/(1-e^i)$
In realtà è corretto
$\sum_{k=0}^(n) cos(kt)+i\sum_{k=0}^(n) sin(kt)=\sum_{k=0}^(n) (e^{it})^k =(1-e^(i(n+1)t))/(1-e^{it})$
C'è un errore analogo nelle maggiorazioni seguenti.
Ricordo di aver trattato di una serie simile un po' di tempo fa, però era più semplice perché a denominatore c'era $2^n $ invece di $n$ come in questo caso.
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