Serie col criterio dell'integrale
Buonasera a tutti!
Ho trovato queste tre serie da risolvere col criterio dell'integrale ma non ho le soluzioni.
$sum_(n=1)^(oo) 1/(n^4)$ A me risulta che converge: $1/3$
$sum_(n=1)^(oo) 1/(n^(1/4))$ A me risulta non converge: $oo$
$sum_(n=1)^(oo) 1/(n^2+1)$ A me risulta che converge: $pi/4$
GRAZIE
Ho trovato queste tre serie da risolvere col criterio dell'integrale ma non ho le soluzioni.
$sum_(n=1)^(oo) 1/(n^4)$ A me risulta che converge: $1/3$
$sum_(n=1)^(oo) 1/(n^(1/4))$ A me risulta non converge: $oo$
$sum_(n=1)^(oo) 1/(n^2+1)$ A me risulta che converge: $pi/4$
GRAZIE
Risposte
La prima converge, non so se a $1/3$ o cosa...
Comunque converge. La seconda non converge...
E la terza sì. Non c'è neppure bisogno di tirar
fuori l'utilissimo (ma non in questo caso)
criterio integrale per studiare il comportamento di queste serie.
Comunque converge. La seconda non converge...
E la terza sì. Non c'è neppure bisogno di tirar
fuori l'utilissimo (ma non in questo caso)
criterio integrale per studiare il comportamento di queste serie.
Grazie.
Era espressamente richiesto nel testo di usarlo, poi io, ovviamente, non ho tutta questa esperienza...
Quando converge sapete dirmi pure la somma?
Era espressamente richiesto nel testo di usarlo, poi io, ovviamente, non ho tutta questa esperienza...
Quando converge sapete dirmi pure la somma?
"Giova411":
Quando converge sapete dirmi pure la somma?
Sì, ma non è così immediato ricavarla. Un modo è di passare per gli sviluppi in serie di Fourier di opportune funzioni periodiche.
Ciao!
Pensavo che l'integrale improprio potesse dare il risultato della serie...
Boh, ho le idee confuse...
Pensavo che l'integrale improprio potesse dare il risultato della serie...
Boh, ho le idee confuse...
Mi ricordo un risultato noto, che si può
dimostrare come ha detto DavidHilbert:
$sum_(k=1)^(+oo) 1/k^2 = pi^2/6
Prova a calcolare
$int_1^(+oo) 1/x^2 dx...
dimostrare come ha detto DavidHilbert:
$sum_(k=1)^(+oo) 1/k^2 = pi^2/6
Prova a calcolare
$int_1^(+oo) 1/x^2 dx...
L'integrale improprio converge a $1$ e la serie è minore di $2$. Giusto?
Forse ho capito di aver detto una castronata prima...
Grazie!
Forse ho capito di aver detto una castronata prima...
Grazie!
Tornando agli esercizi di sopra, basta dire che il primo converge, il secondo no, il terzo converge. La somma è una cosa che volevo trovare ma è di difficile calcolo per via delle approssimazioni.
L'importante è capire se convergono a meno, ora ho capito.
(Correggetemi se sbaglio, se no, non ne vengo fuori...)
L'importante è capire se convergono a meno, ora ho capito.
(Correggetemi se sbaglio, se no, non ne vengo fuori...)
Certo che l'importante è capire se convergono!
Poi se uno vuole fare il pignolo, una volta
che ha dimostrato che convergono, può sforzarsi di trovare il loro valore esatto...
Ma nella maggior parte dei casi non ci si riesce.
Poi se uno vuole fare il pignolo, una volta
che ha dimostrato che convergono, può sforzarsi di trovare il loro valore esatto...
Ma nella maggior parte dei casi non ci si riesce.
Il criterio dell'integrale improprio non ti fornisce la somma, ma ti fornisce, sotto opportune ipotesi, una stima per la somma della serie. Se la vuoi calcolare, ci sono diverse strade, alcune facili (serie geometrica, telescopica) altre meno (sviluppi di Taylor o Fourier); il problema del calcolo della somma esatta e' pero' un problema non risolubile, in generale.
Molte grazie!
Mi confondevo pensando che, come nelle serie geometriche, anche per tutte le altre si potesse trovare una somma precisa. E' da 3 giorni che studio le serie e non le avevo mai viste, ora mi sempre di aver capito un concetto molto importante grazie ai vostri interventi.
Mi confondevo pensando che, come nelle serie geometriche, anche per tutte le altre si potesse trovare una somma precisa. E' da 3 giorni che studio le serie e non le avevo mai viste, ora mi sempre di aver capito un concetto molto importante grazie ai vostri interventi.
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