Serie coefficiente binoniale
Ciao, amici! Leggo che, se \(\alpha>0\), reale, ma non necessariamente intero, si ha \[\sum_{k=0}^{+\infty}\binom{\alpha}{k}=2^{\alpha}\]Qualcuno ne conosce una dimostrazione?
So che \(\sum_{k=0}^{+\infty}\binom{\alpha}{k}x^k=(1+x)^{\alpha}\) per \(x\in(-1,1)\) calcolando il raggio di convergenza della serie di potenze, ma se $x=1$ non saprei come verificare quest'identità...
\(\sum_{k=1}^{\infty}\) grazie\(_k\) a tutti!
So che \(\sum_{k=0}^{+\infty}\binom{\alpha}{k}x^k=(1+x)^{\alpha}\) per \(x\in(-1,1)\) calcolando il raggio di convergenza della serie di potenze, ma se $x=1$ non saprei come verificare quest'identità...
\(\sum_{k=1}^{\infty}\) grazie\(_k\) a tutti!
Risposte
$\infty$ grazie, TeM!!! Già, per \(k>r\in\mathbb{N}\) il coefficiente binomiale è nullo e la formula di Newton può essere scritta facendo tendere \(n\to\infty\).
Se \(r\in\mathbb{R}^{+}\setminus\mathbb{N}\) non abbiamo però alcuna certezza che valga, vero?
Se \(r\in\mathbb{R}^{+}\setminus\mathbb{N}\) non abbiamo però alcuna certezza che valga, vero?
Quindi chissà da dove venga che \(\sum_{k=0}^{+\infty}\binom{\alpha}{k}=(1+1)^{\alpha}\) per \(\alpha\in\mathbb{R}^{+}\)...
Oltretutto il formulario dove trovo questa cosa dice anche che\[|x|\in[-1,1]\Rightarrow\sqrt{x+1}=\sum_{k=0}^{\infty}\binom{1/2}{k}x^k\]cosa che sarebbe immediatamente implicata dalla validità della formula generale per \(\alpha=\frac{1}{2}\).
Non sono comunque pronto a giurarlo perché lo trovo in un semplice formularietto che sto leggendo per ripasso...
In effetti, non se sia per semplicità, ma il mio testo (quello vero, non il formularietto) di analisi, il Barutello-Conti-Ferrario-Terracini-Verzini, dà questa espressione di \(\sqrt{x+1}\) valida per \(x\in(-1,1) \) senza includere o punti di frontiera.
Grazie di cuore di tutto!!!
Oltretutto il formulario dove trovo questa cosa dice anche che\[|x|\in[-1,1]\Rightarrow\sqrt{x+1}=\sum_{k=0}^{\infty}\binom{1/2}{k}x^k\]cosa che sarebbe immediatamente implicata dalla validità della formula generale per \(\alpha=\frac{1}{2}\).
Non sono comunque pronto a giurarlo perché lo trovo in un semplice formularietto che sto leggendo per ripasso...
In effetti, non se sia per semplicità, ma il mio testo (quello vero, non il formularietto) di analisi, il Barutello-Conti-Ferrario-Terracini-Verzini, dà questa espressione di \(\sqrt{x+1}\) valida per \(x\in(-1,1) \) senza includere o punti di frontiera.
Grazie di cuore di tutto!!!
Ma non ho capito: il problema sta nel capire perché è vero che $(1+x)^\alpha$ si può scrivere come quella serie, o nel dimostrare che $2^\alpha$ è uguale a quella roba?
Che $2^{\alpha}$ è uguale a quella serie. Per $|x|< 1$ conosco il risultato. Per $x=-1$ è banale. Per $x=1$ stavo pensando adesso al resto di Lagrange del polinomio di Maclaurin, che direi sia\[\binom{\alpha}{k}(\xi+1)^{\alpha -k}x^k,\quad\xi\in(0,x)\]
Riuscendo a dimostrare che per $\xi\in(0,1)$ vale $\lim_{k\to \infty}\frac{\alpha\cdot\cdot\cdot(\alpha-k+1)}{k!}(\xi+1)^{\alpha -k}=0$ mi pare che si dimostrerebbe quanto voluto, ma non ho molta praticità con coefficienti binomiali con numeri non naturali...
Riuscendo a dimostrare che per $\xi\in(0,1)$ vale $\lim_{k\to \infty}\frac{\alpha\cdot\cdot\cdot(\alpha-k+1)}{k!}(\xi+1)^{\alpha -k}=0$ mi pare che si dimostrerebbe quanto voluto, ma non ho molta praticità con coefficienti binomiali con numeri non naturali...
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