Serie che richiederebbero verifica
Buongiorno, vorrei che deste un'occhiata a questi (semplici) esercizi sulle serie, in cerca di errori.
Esercizio 1
$\sum_{n=1}^infty(cos(n!) + sin(n^2))/(n^2 +n!)$
Poiché $cos(n!)$ e$ sin(n^2)$ oscillano, la serie è a segni alterni.
Si ha che $(-2)/(n^2+n!) <= (cos(n!) + sin(n^2))/(n^2 +n!) <= 2/(n^2+n!)$, dunque la successione tende a 0 e può convergere.
Si ha anche che $(cos((n+1)!) +sin((n+1)^2))/(n^2+2n+1+(n+1)n!) <= (cos(n!) +sin (n^2))/(n^2+n!)$, dunque $a(n+1) <= a(n)$.
La successione inoltre è palesemente positiva. Dunque rispetta tutte le condizioni per applicare Leibnitz e converge.
Esercizio 2
$\sum_{n=1}^infty((-1)^n)/(logloglogn)$
La serie è segni alterni. Poiché $-(1)/(logloglogn) <= ((-1)^n)/(logloglogn) <= (1)/(logloglogn)$, la successione, all'$infty$, tende a 0.
é possibile affermare, senza dimostrarlo, che la successione è decrescente?
Affiché valga Leibnitz, è anche necessario che la successione sia $>0$. Come dimostrarlo? (devo considerare solo $(1)/(logloglogn)$, ignorando i termini negativi?)
Esercizio 3
$\sum_{n=1}^infty(-1)^n* arctan((n^2+sin(n!)^2)/(n+sin(n!)))$
è a segni alterni.
Essendo che $sin(n!)^2$ e $sin(n!)$ oscillano, l'argomento dell'arctan è asintoticamente equivalente a $n^2/n = n$. Dunque, per $n->infty$, la successione oscilla tra $-\pi/2$ e $\pi/2$..
Poiché $a(n+1)= (n^2+2n+1+sin((n+1)n!)^2)/(n+1+sin((n+1)n!)) >= a(n)$, la successione è crescente. Di conseguenza non è applicabile Leibnitz e la serie diverge.
Esercizio 4 (Help!)
$\sum_{n=1}^infty((-1)^n)((3sqrtn +cos(\pin))/(n))$
Il limite della successione mi viene 0, quindi potrebbe convergere.
Tuttavia, cosa posso dire circa la decrescenza e la positività della successione? Per utilizzare Leibnitz devo conoscerne meglio il comportamento, ma quando vado a studiare $a(n+1)$, mi viene pressoché uguale ad $a(n)$, quindi non riesco a definirne la crescenza/decrescenza...
Grazie a tutti in anticipo per l'aiuto!
Esercizio 1
$\sum_{n=1}^infty(cos(n!) + sin(n^2))/(n^2 +n!)$
Poiché $cos(n!)$ e$ sin(n^2)$ oscillano, la serie è a segni alterni.
Si ha che $(-2)/(n^2+n!) <= (cos(n!) + sin(n^2))/(n^2 +n!) <= 2/(n^2+n!)$, dunque la successione tende a 0 e può convergere.
Si ha anche che $(cos((n+1)!) +sin((n+1)^2))/(n^2+2n+1+(n+1)n!) <= (cos(n!) +sin (n^2))/(n^2+n!)$, dunque $a(n+1) <= a(n)$.
La successione inoltre è palesemente positiva. Dunque rispetta tutte le condizioni per applicare Leibnitz e converge.
Esercizio 2
$\sum_{n=1}^infty((-1)^n)/(logloglogn)$
La serie è segni alterni. Poiché $-(1)/(logloglogn) <= ((-1)^n)/(logloglogn) <= (1)/(logloglogn)$, la successione, all'$infty$, tende a 0.
é possibile affermare, senza dimostrarlo, che la successione è decrescente?
Affiché valga Leibnitz, è anche necessario che la successione sia $>0$. Come dimostrarlo? (devo considerare solo $(1)/(logloglogn)$, ignorando i termini negativi?)
Esercizio 3
$\sum_{n=1}^infty(-1)^n* arctan((n^2+sin(n!)^2)/(n+sin(n!)))$
è a segni alterni.
Essendo che $sin(n!)^2$ e $sin(n!)$ oscillano, l'argomento dell'arctan è asintoticamente equivalente a $n^2/n = n$. Dunque, per $n->infty$, la successione oscilla tra $-\pi/2$ e $\pi/2$..
Poiché $a(n+1)= (n^2+2n+1+sin((n+1)n!)^2)/(n+1+sin((n+1)n!)) >= a(n)$, la successione è crescente. Di conseguenza non è applicabile Leibnitz e la serie diverge.
Esercizio 4 (Help!)
$\sum_{n=1}^infty((-1)^n)((3sqrtn +cos(\pin))/(n))$
Il limite della successione mi viene 0, quindi potrebbe convergere.
Tuttavia, cosa posso dire circa la decrescenza e la positività della successione? Per utilizzare Leibnitz devo conoscerne meglio il comportamento, ma quando vado a studiare $a(n+1)$, mi viene pressoché uguale ad $a(n)$, quindi non riesco a definirne la crescenza/decrescenza...
Grazie a tutti in anticipo per l'aiuto!
Risposte
"beluga":
Esercizio 1
$\sum_{n=1}^infty(cos(n!) + sin(n^2))/(n^2 +n!)$
Poiché $cos(n!)$ e$ sin(n^2)$ oscillano, la serie è a segni alterni.
No.
I segni si alternano senza regolarità richiesta per essere una “serie a segni alterni”.
"beluga":
Si ha che $(-2)/(n^2+n!) <= (cos(n!) + sin(n^2))/(n^2 +n!) <= 2/(n^2+n!)$, dunque la successione tende a 0 e può convergere.
Si ha anche che $(cos((n+1)!) +sin((n+1)^2))/(n^2+2n+1+(n+1)n!) <= (cos(n!) +sin (n^2))/(n^2+n!)$, dunque $a(n+1) <= a(n)$.
La successione inoltre è palesemente positiva. Dunque rispetta tutte le condizioni per applicare Leibnitz e converge.
No.
Per quanto detto sopra, Leibniz non lo puoi applicare nemmeno con una cazzuola...
La serie converge assolutamente per il criterio dell’ordine. Perché?
"beluga":
Esercizio 2
$\sum_{n=1}^infty((-1)^n)/(logloglogn)$
La serie è segni alterni. Poiché $-(1)/(logloglogn) <= ((-1)^n)/(logloglogn) <= (1)/(logloglogn)$, la successione, all'$infty$, tende a 0.
No.
Casomai è definitivamente a segni alterni.
Inoltre, alcuni addendi iniziali non hanno proprio senso. Perché?
"beluga":
é possibile affermare, senza dimostrarlo, che la successione è decrescente?
Affiché valga Leibnitz, è anche necessario che la successione sia $>0$. Come dimostrarlo? (devo considerare solo $(1)/(logloglogn)$, ignorando i termini negativi?)
Immagino che tu abbia letto l’enunciato del criterio di Leibniz... L’enunciato del teorema ti dice cosa andare a verificare.
Cosa non ti è chiaro?
"beluga":
Esercizio 3
$\sum_{n=1}^infty(-1)^n* arctan((n^2+sin(n!)^2)/(n+sin(n!)))$
è a segni alterni.
Essendo che $sin(n!)^2$ e $sin(n!)$ oscillano, l'argomento dell'arctan è asintoticamente equivalente a $n^2/n = n$. Dunque, per $n->infty$, la successione oscilla tra $-\pi/2$ e $\pi/2$.
No.
"beluga":
Poiché $a(n+1)= (n^2+2n+1+sin((n+1)n!)^2)/(n+1+sin((n+1)n!)) >= a(n)$, la successione è crescente.
Perché?
"beluga":
Di conseguenza non è applicabile Leibnitz e la serie diverge.
Non vedo cosa c’entri l’inapplicabilità del criterio con la divergenza.
Conosci la distinzione tra condizione sufficiente e condizione necessaria?
"beluga":
Esercizio 4 (Help!)
$\sum_{n=1}^infty((-1)^n)((3sqrtn +cos(\pin))/(n))$
Il limite della successione mi viene 0, quindi potrebbe convergere.
Tuttavia, cosa posso dire circa la decrescenza e la positività della successione? Per utilizzare Leibnitz devo conoscerne meglio il comportamento, ma quando vado a studiare $a(n+1)$, mi viene pressoché uguale ad $a(n)$, quindi non riesco a definirne la crescenza/decrescenza...
Beh, nemmeno nei casi precedenti mi pare che tu abbia sciolto questo nodo completamente.
In generale, sono le verifiche della monotonia (parte più difficile nell’applicare Leibniz) che ti fregano.
Per verificare la monotonia, molte volte bastano le proprietà delle funzioni elementari, mentre altre volte bisogna risolvere disequazioni o usare il Calcolo Differenziale.
Ok, ti ringrazio per la risposta e per la pazienza. Ci sono alcune cose che evidentemente non ho proprio in chiaro.
Vediamo se ora ho capito: la successione di partenza tende a 0, ed è equivalente a $1/(n^2)$, che converge.
Ti riferisci alle disuguaglianze? Comunque sinceramente non ho ben capito perché sia a segni alterni solo definitivamente: il numeratore è $(-1)^n$, quindi la successione non dovrebbe assumere valori positivi o negativi a seconda della parità/disparità di n?
Hai ragione, ho totalmente confuso l'andamento dell'arcotangente all'infinito, Ma è vero almeno che l'argomento è equivalente a n?
In realtà il mio problema principale, come hai detto anche tu, è proprio capire l'andamento delle successioni. In questo caso ho pensato che, dal momento che in a(n+1) al numeratore compaiono più termini che vanno all'infinito, allora a(n+1) fosse più "grande" di a(n), anche se mi rendo conto che come ragionamento faccia acqua da tutte le parti.
Hai ragione, infatti mentre scrivevo mi era sorto un dubbio. Qualora mi capiti una serie a segni alterni e almeno una delle condizioni imposte da Leibnitz non sia verificata, non posso dire nulla sull'andamento della serie.
Ti ringrazio per avermi fatto capire cosa so e cosa non so, spero che tu abbia voglia di continuare a chiarirmi le idee correggendomi eventuali errori in questa risposta.
La serie converge assolutamente per il criterio dell’ordine. Perché?
Vediamo se ora ho capito: la successione di partenza tende a 0, ed è equivalente a $1/(n^2)$, che converge.
Inoltre, alcuni addendi iniziali non hanno proprio senso. Perché?
Ti riferisci alle disuguaglianze? Comunque sinceramente non ho ben capito perché sia a segni alterni solo definitivamente: il numeratore è $(-1)^n$, quindi la successione non dovrebbe assumere valori positivi o negativi a seconda della parità/disparità di n?
No.
Hai ragione, ho totalmente confuso l'andamento dell'arcotangente all'infinito, Ma è vero almeno che l'argomento è equivalente a n?
Perché?
In realtà il mio problema principale, come hai detto anche tu, è proprio capire l'andamento delle successioni. In questo caso ho pensato che, dal momento che in a(n+1) al numeratore compaiono più termini che vanno all'infinito, allora a(n+1) fosse più "grande" di a(n), anche se mi rendo conto che come ragionamento faccia acqua da tutte le parti.
Conosci la distinzione tra condizione sufficiente e condizione necessaria?
Hai ragione, infatti mentre scrivevo mi era sorto un dubbio. Qualora mi capiti una serie a segni alterni e almeno una delle condizioni imposte da Leibnitz non sia verificata, non posso dire nulla sull'andamento della serie.
Ti ringrazio per avermi fatto capire cosa so e cosa non so, spero che tu abbia voglia di continuare a chiarirmi le idee correggendomi eventuali errori in questa risposta.
Nella prima il termine dominante al denominatore è $n!$, non $n^2$.
Per la seconda, penso che gugo82 consigli di guardare da dove parte la serie.
Sulla terza c'è un errore pesante sui limiti in generale: ancora occhio ai termini dominanti.
Per la seconda, penso che gugo82 consigli di guardare da dove parte la serie.
Sulla terza c'è un errore pesante sui limiti in generale: ancora occhio ai termini dominanti.
Ciao beluga,
Per l'Esercizio 2:
La serie non può partire da $n = 1 $ altrimenti l'argomento del secondo logaritmo sarebbe $0$...
Beh, non mi pare improponibile riuscire a dimostrare che, almeno da un certo valore di $n $ in poi, sia
$1/(log log log(n + 1)) <= 1/(log log log(n)) $
Per l'Esercizio 4:
Si ha $cos(\pi n ) = (-1)^n $ quindi...
Per l'Esercizio 2:
La serie non può partire da $n = 1 $ altrimenti l'argomento del secondo logaritmo sarebbe $0$...
"beluga":
é possibile affermare, senza dimostrarlo, che la successione è decrescente?
Beh, non mi pare improponibile riuscire a dimostrare che, almeno da un certo valore di $n $ in poi, sia
$1/(log log log(n + 1)) <= 1/(log log log(n)) $
Per l'Esercizio 4:
Si ha $cos(\pi n ) = (-1)^n $ quindi...
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