Serie che deve convergere assolutamente!

[lelinolino]

Salve ragazzi..
ho un problema con questa serie che dovrebbe convergere assolutamente ma non riesco a capire come..

La serie è $(-1)^n (1- 1/(n Log(n))) ^(e^n)$

alla fine ci dovrebbe essere scritto e alla n ma non riesco a capire perchè Math me lo scrive così!

[Luca.Lussardi]

Ho modificato io il testo, bastavano due parentesi.

Quanto alla domanda tecnica prova a ricordare il limite notevole $(1+1/n)^n \to e$.

[deriu1]

...anche io ho provato con quel limite...c'è solo un problema...che l'infinito all'esponente non è lo stesso che sta al denominatore quindi il lim non si puo usare!!! e cmq anche se fosse quello il limite...tende ad e quindi non è soddisfatta la condizione necessaria di convergenza! sicuramente l'es cosi è sbagliato!! chi altro consiglia qualcosa???

[Luca.Lussardi]

Veramente il valore assoluto del termine generale tende a $0$ se uno applica il limite notevole che ho ricordato, e quindi la convergenza assoluta della serie può esserci, non cade nessuna condizione necessaria.

[lelinolino]

scusa.. dato che neanche io ho capito bene come usare quel limite notevole, mi potresti postare la soliuzione esplicita?? grazie!

[gugo82]

All'esponente moltiplicare e dividere per $n \ln n$, poi tener presenti le proprietà delle potenze per ricondursi al limite fondamentale...
Su, ragazzi, è un trucco standard, l'avrete visto altre mille volte.

[lelinolino]

scusa.. dato che neanche io ho capito bene come usare quel limite notevole, mi potresti postare la soliuzione esplicita?? grazie!

[gugo82]

"lelinolino":$\sum (-1)^n (1- 1/(n Log(n))) ^(e^n)$

Prendiamo in considerazione la serie dei moduli, ossia [tex]$\sum \left( 1-\frac{1}{n \ln n}\right)^{e^n}$[/tex], ed andiamo a vedere se è verificata la condizione necessaria.
Si aprono varie strade.

Metodo 1.

Abbiamo:

[tex]$\lim_n \left( 1-\frac{1}{n \ln n}\right)^{e^n}=\lim_n \left( 1-\frac{1}{n \ln n}\right)^\frac{e^n n\ln n}{n\ln n}\lim_n \left[ \Big( 1-\frac{1}{n \ln n} \Big)^{n\ln n} \right]^\frac{e^n}{n\ln n}$[/tex];

ora è:

- [tex]$\lim_n \left( 1-\frac{1}{n \ln n}\right)^{n\ln n} =e^{-1}=\frac{1}{e}$[/tex] (per il limite fondamentale ricordato da Luca... Ok, non proprio per quello, ma quasi *);

- [tex]$\lim_n \frac{e^n}{n\ln n} =+\infty$[/tex];

e per noti risultati sul limite delle potenze si ha:

[tex]$\lim_n \left( 1-\frac{1}{n \ln n}\right)^{e^n}=\frac{1}{e^{+\infty}}=0$[/tex].

Incidentalmente, il ragionamento portato avanti ci dice che la successione dei moduli [tex]$\left( 1-\frac{1}{n \ln n}\right)^{e^n}$[/tex] è infinitesima d'ordine infinitamente grande (va a zero come un esponenziale con base [tex]$<1$[/tex]), per cui la serie dei moduli converge.

Metodo 2.

Il [tex]$\lim_n \left( 1-\frac{1}{n \ln n}\right)^{e^n}$[/tex] si presenta in forma indeterminata [tex]$1^\infty$[/tex]; oltre al precedente, per eliminare la f.i. si può ricorrere alla continuità dell'esponenziale.
Abbiamo:

[tex]$\lim_n \left( 1-\frac{1}{n \ln n}\right)^{e^n} =e^{\lim_n e^n\cdot \ln \left( 1-\frac{1}{n \ln n}\right)}$[/tex]

ammesso che il limite al secondo membro esista. Vediamo cosa riusciamo a dire circa tale limite: visto che [tex]$\ln (1+x) \sim -x+\text{o}(x)$[/tex], si ha:

[tex]$\lim_n e^n\cdot \ln \left( 1-\frac{1}{n \ln n}\right) =\lim_n e^n\cdot \left[ -\frac{1}{n \ln n}+\text{o} \Big( \frac{1}{n\ln n}\Big) \right] = \lim_n \frac{e^n}{n\ln n} \cdot \left[ -1+\frac{1}{n \ln n} \cdot \text{o} \Big( \frac{1}{n \ln n}\Big) \right]=-\infty$[/tex]

quindi:

[tex]$\lim_n \left( 1-\frac{1}{n \ln n}\right)^{e^n} =e^{-\infty} =0$[/tex]

ed è verificata la condizione necessaria.
Come sopra, il ragionamento ci dice che la successione dei moduli è infinitesima d'ordine infinitamente elevato, quindi la serie dei moduli converge.

Questi sono trucchi standard per eliminare quel tipo di forma indeterminata; li avrete incontrati mille volte negli esercizi... Fate più attenzione.


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* Ricordate che [tex]$\lim_{x\to +\infty} \left( 1+\frac{\alpha}{x}\right)^x=e^\alpha$[/tex]; nel caso in esame è [tex]$\alpha =-1$[/tex].