Serie che converge a pi greco
Buongiorno a tutti.
Sono riuscito a trovare una serie che converge con velocità praticamente arbitraria a pi greco. Purtroppo non ho a disposizione calcolatrici abbastanza potenti da fare tutti i calcoli necessari, però pare appunto con questi dati parziali che ad ogni somma di un termine della serie si ottengano circa le stesse cifre di pi greco ottenute tramite il primo termine.
In pratica la serie è lo sviluppo in serie di taylor dell'arcoseno, dove al posto di X inserisco un numero irrazionale che è il seno di una frazione infinitesima di pi greco (pi/2^n) come nella formula di Viète, moltiplicando poi per 2^n.
Volevo domandare se per un calcolatore elettronico una formula del genere ( con tantissimi elevamenti a potenza ) può davvero essere utile per determinare molte cifre decimali del pi greco.
Sono riuscito a trovare una serie che converge con velocità praticamente arbitraria a pi greco. Purtroppo non ho a disposizione calcolatrici abbastanza potenti da fare tutti i calcoli necessari, però pare appunto con questi dati parziali che ad ogni somma di un termine della serie si ottengano circa le stesse cifre di pi greco ottenute tramite il primo termine.
In pratica la serie è lo sviluppo in serie di taylor dell'arcoseno, dove al posto di X inserisco un numero irrazionale che è il seno di una frazione infinitesima di pi greco (pi/2^n) come nella formula di Viète, moltiplicando poi per 2^n.
Volevo domandare se per un calcolatore elettronico una formula del genere ( con tantissimi elevamenti a potenza ) può davvero essere utile per determinare molte cifre decimali del pi greco.
Risposte
Perche' dovrebbe essere utile determinare tante cifre decimali di pi greco?
Di fatto è completamente inutile a qualsiasi scopo xD, sarebbe qualcosa di totalmente fine a sé stesso...
sfortunatamente, la prima cosa che bisogna fare quando si sottomette un articolo per pubblicazione e' convincere il referee che serve a qualcosa...
Ahahah, è vero che voglio pubblicare il risultato, però non l'ho mai detto xD
Se devo convincere qualcuno dell'utilità di un modo per calcolare veloce il pi greco temo che non pubblicherò nulla, mi verrebbe il mal di pancia
Se devo convincere qualcuno dell'utilità di un modo per calcolare veloce il pi greco temo che non pubblicherò nulla, mi verrebbe il mal di pancia
beh si intuiva che volevi farci qualcosa 
OK.. non ti fidare troppo di quello che dico.. ma il punto e' il seguente: un risultato del genere diventa pubblicabile se la metodologia e' interessante in se' e puo' portare ad ulteriori sviluppi e applicazioni. Pero', da quello che hai scritto, hai usato solo uno sviluppo in serie e questo, onestamente, non e' tecnicamente interessante. Tuttavia, potresti aver sottovalutato il tuo lavoro, o io lo sto sottovalutando, quindi puoi anche tentare una pubblicazione, ma lasciami consigliarti di non rimanerci male se non venisse accettata.
A proposito, quanti anni hai? che studi fai?
OK.. non ti fidare troppo di quello che dico.. ma il punto e' il seguente: un risultato del genere diventa pubblicabile se la metodologia e' interessante in se' e puo' portare ad ulteriori sviluppi e applicazioni. Pero', da quello che hai scritto, hai usato solo uno sviluppo in serie e questo, onestamente, non e' tecnicamente interessante. Tuttavia, potresti aver sottovalutato il tuo lavoro, o io lo sto sottovalutando, quindi puoi anche tentare una pubblicazione, ma lasciami consigliarti di non rimanerci male se non venisse accettata.
A proposito, quanti anni hai? che studi fai?
Infatti no, il mio lavoro non è niente di importante né di innovativo, su questo non ci piove.
Ho 19 anni e mezzo e studio fisica e astrofisica a roma...
Ho 19 anni e mezzo e studio fisica e astrofisica a roma...
Bene... allora lasciami dire che la tua curiosita' nel trovare cose nuove e la voglia di pubblicare risultati sono cose lodevolissime e che ti aiuteranno in futuro. Ma ora sei un po' piccolino e devi studiare le tecniche che ti serviranno per fare le scoperte vere. Buona fortuna!
Grazie per gli auguri...
Sono cose molto studiate, comunque, come puoi bene immaginare. Saranno almeno tremila anni che si calcolano cifre di \(\pi\). Per esempio, qui abbiamo commentato un articolo in cui viene presentato un metodo per calcolare direttamente l'\(n\)-esima cifra di \(\pi\) senza passare dal calcolo di tutte le cifre precedenti:
calcolo-cifra-pigreco-t34992.html
La tecnica che proponi tu potrebbe benissimo essere valida. Quanto a pubblicarla francamente la vedo dura, perché probabilmente qualcuno l'avrà già trovata in tutti questi anni! Ma è un buonissimo esercizio fare delle ricerche da soli. E' così che si impara la matematica.
PS: Aggiungo un altro link, stavolta ad una risorsa esterna:
http://math.stackexchange.com/q/147296/8157
calcolo-cifra-pigreco-t34992.html
La tecnica che proponi tu potrebbe benissimo essere valida. Quanto a pubblicarla francamente la vedo dura, perché probabilmente qualcuno l'avrà già trovata in tutti questi anni! Ma è un buonissimo esercizio fare delle ricerche da soli. E' così che si impara la matematica.
PS: Aggiungo un altro link, stavolta ad una risorsa esterna:
http://math.stackexchange.com/q/147296/8157
guarda,ti dico una cosa che ci disse il nostro professore che forse sai già ma nel caso tu non lo sapessi dovrebbe risultarti molto interessante,c'è stato un matematico che ha scritto un libro che inizia con pi greco: e circa 400 pagine di cifre di pi greco.. per curiosità qual'è la serie?
Sì, mi sono informato piuttosto bene sulla faccenda, è che non ho trovato ( sulla wikipedia inglese... ) una serie che converga a pi greco con una velocità arbitraria come fa apparentemente questa. Ad esempio ho sommato 4 termini di una serie di cui solo il primo mi dava 349 cifre esatte, e sono arrivato a 1604.
Ammetto che io stesso trovo più interessanti formule come quella che danno l'ennesima cifra esadecimale o binaria del pi greco, però almeno ho fatto qualcosa xD
La serie è quella dell'arcoseno dove al posto di X compare la formula di Viète... cerco di scriverla...
$pi=2^n*(sin(pi/2^n)+1/6 sin^3(pi/2^n)+3/40 sin^5(pi/2^n)...)$
Ammetto che io stesso trovo più interessanti formule come quella che danno l'ennesima cifra esadecimale o binaria del pi greco, però almeno ho fatto qualcosa xD
La serie è quella dell'arcoseno dove al posto di X compare la formula di Viète... cerco di scriverla...
$pi=2^n*(sin(pi/2^n)+1/6 sin^3(pi/2^n)+3/40 sin^5(pi/2^n)...)$
Che vuol dire "con una velocità arbitraria"?
A quale formula di Viète ti riferisci?
A me pare solo che tu stia usando lo sviluppo dell'arcoseno ed il fatto che \(\arcsin \sin x = x\) per \(x\in ]-\pi/2 ,\pi/2[\)...
A quale formula di Viète ti riferisci?
A me pare solo che tu stia usando lo sviluppo dell'arcoseno ed il fatto che \(\arcsin \sin x = x\) per \(x\in ]-\pi/2 ,\pi/2[\)...
Esatto, sfrutto quelle semplici faccende soltanto. In più tengo conto solo del fatto che l'arcoseno è approssimato bene da quello sviluppo in serie intorno a 0, per cui se prendo una frazione infinitesima di π la serie convergerà più velocemente.
Mi riferisco a questa formula di Viète:
http://it.wikipedia.org/wiki/Formula_di_Vi%C3%A8te
Con velocità arbitraria significa che più cifre del π dà $sin(pi/2^n)*2^n$, scegliendo ovviamente un n molto grande per avere parecchie cifre, più cifre riceverò ogni volta che sommo uno dei termini dello sviluppo di Taylor..
Mi riferisco a questa formula di Viète:
http://it.wikipedia.org/wiki/Formula_di_Vi%C3%A8te
Con velocità arbitraria significa che più cifre del π dà $sin(pi/2^n)*2^n$, scegliendo ovviamente un n molto grande per avere parecchie cifre, più cifre riceverò ogni volta che sommo uno dei termini dello sviluppo di Taylor..
dovresti cercare di dare una stima precisa della velocita' di convergenza. Partendo da $m$ cifre decimali di $\pi$, quante ne trovi esatte? E' polinomiale in $m$? esponenziale?...
Allora, partendo da $m$ cifre decimali di $pi$ l'andamento mi sembra all'incirca lineare... cioè diciamo che va più o meno come $n*m$ dove n è il numero di termini del polinomio sommati
Ho due sequenze a disposizione... una è frammentaria...
$19, 61, 93, 125, 156$
1:$349$
4:$1609$
7:$3319$
Qualche piccolo errore ci potrebbe essere...
Ho due sequenze a disposizione... una è frammentaria...
$19, 61, 93, 125, 156$
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Qualche piccolo errore ci potrebbe essere...
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