Serie che converge

[dellafera]

Ciao scusami ma nel precedente messaggio ti avevo scritto come serie di partenza direttamente la parte (an+1)
La serie che vorrei che mi aiuteresti a realizzare è questa:
(n)!\(n-1)^n
Scusami ancora

[pilloeffe]

"Mei":La serie che vorrei che mi aiutassi a risolvere è questa

Non è che cambia molto, anzi è più semplice...
La nuova serie proposta infatti è la seguente:

$ sum_{n = 2}^{+\infty} frac{n!}{(n - 1)^n} $

$ sum_{n = 2}^{+\infty} frac{n!}{(n - 1)^n} $

Si vede subito che la serie proposta è a termini positivi e non molto dopo che, posto $a_n := frac{n!}{(n - 1)^{n}} $, risulta $ lim_{n \to +\infty} a_n = 0 $: essendo soddisfatta la condizione necessaria di convergenza di Cauchy, la serie proposta può convergere. Per vedere se effettivamente converge applichiamo il criterio del rapporto:

$ lim_{n \to +\infty} frac{a_{n + 1}}{a_n} = lim_{n \to +\infty} frac{frac{(n + 1)!}{n^{n + 1}}}{frac{n!}{(n - 1)^{n}}} = lim_{n \to +\infty} frac{(n + 1)!}{n!} \cdot frac{(n - 1)^{n}}{n^{n+1}} = $
$ = lim_{n \to +\infty} frac{(n + 1)n!}{n!} \cdot frac{(n - 1)^{n}}{n \cdot n^{n}} = lim_{n \to +\infty} frac{n+1}{n} \cdot (frac{n - 1}{n})^{n} = $
$ = lim_{n \to +\infty} frac{n+1}{n} \cdot (1 + frac{-1}{n})^{n} = 1 \cdot e^{- 1} = 1/e < 1 $

Dunque la serie proposta è convergente.

[dellafera]

Grazie mille e scusami se ti ho fatto impazzire

[pilloeffe]

"Mei":Grazie mille

Prego

"Mei":e scusami se ti ho fatto impazzire

Ma figurati, no problem, ho fatto poco più che un copia e incolla dall'altro post...