Serie Bilatera

[gianpie1]

Salve , mi scervello da un giorno su questa serire di cui ho la soluzione ma alla quale aimeh non arrivo


\(\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-\frac{\left | f-nf_c \right |}{f_a}} \)

fc e fa parametri positivi

\(\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-\frac{\left | f-nf_c \right |}{f_a}}=\sum_{n=-\infty}^{-1}e^{-\frac{\left | f-nf_c \right |}{f_a}}+\sum_{n=1}^{\infty}e^{-\frac{\left | f-nf_c \right |}{f_a}} + e^{-\frac{\left | f \right |}{f_a}} \)

poi ho cambiato n in -k nella prima serie

\sum_{n=-\infty}^{-1}e^{-\frac{\left | f+nf_c \right |}{f_a}}=\sum_{k=1}^{\infty}e^{-\frac{\left | f+kf_c \right |}{f_a}}

ma poi come si procede ?
il libro mi da il seguente risultato senza passaggi
\(\displaystyle \frac{e^-\frac{f_c}{f_a}}{1-e^-\frac{f_c}{f_a}}\left ( e^{f/f_a} + e^{-f/f_a} \right ) + e^{-\left | f \right |/f_a} \)


Ho provato a valutare il modulo per valori interni positivi e negativi ma non ne vengo a capo... qualcuno sa dirmi come continuare ???
Grazie a tutti

[totissimus]

\( \sum_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{\left\lfloor f-nf_{c}\right\rfloor }{f_{a}}}=\sum_{n\leq\frac{f}{f_{c}}}e^{\frac{nf_{c}-f}{f_{a}}}+\sum_{n>\frac{f}{f_{c}}}e^{\frac{f-nf_{c}}{f_{a}}}=e^{-\frac{f}{f_{a}}}\sum_{n\leq\frac{f}{f_{c}}}e^{n\frac{f}{f_{a}}}+e^{\frac{f}{f_{a}}}\sum_{n>\frac{f}{f_{c}}}e^{-n\frac{f_{c}}{f_{a}}}\)

Le due ultime serie sono serie geometriche infinite. Continua tu.