Serie aventi un integrale improprio nel termine generale
Salve a tutti,
Apro questo post per chiedere una mano a chiunque ne sappia più di me su esercizi circa il carattere di una serie del seguente tipo, di cui davvero non riesco a capire il funzionamento:
$ sum_(n = \1) n int_(0)^(1/n) tan(tsqrt(t))/t dt $
Non sono riuscito a completare il simbolo di serie aggiungendo $ oo $ .
Non avendo mai visto questa sorta di esercizi prima di ora, ho tentato di fare mente locale e mi è parso ovvio il fatto che, per capire se la serie diverge o converge sarebbe stato necessario capire come si comportava l'integrale improprio. Ho allora proceduto a spezzarlo in due integrali, il primo con estremi 0;1 il secondo 1;1/n. Per quanto riguarda il primo è stato facile mostrarne la convergenza, ma il secondo mi pone difficoltà a livello concettuale per il fatto di avere non un valore fissato ma una variabile che dovrebbe (se ci ho capito qualcosa) interessarmi soltanto nel caso in cui
$ n rarr oo $
d'altraparte in questo caso 1/n tende a 0, e quindi avrei di fronte un integrale che va da 0 a 0.
Inoltre, immaginando di aver capito come si comporta l'integrale, ed immaginando di aver dimostrato che esso converga a 0, come potrei in tal caso confrontare nel termine generale della serie l'ordine di n, che tende a infinito, e quello dell'integrale, che tenderebbe a 0? Come potrei capire chi vince fra i due?
Ringrazio da ora, se esistono, quelle anime buone che mi aiuteranno.
Apro questo post per chiedere una mano a chiunque ne sappia più di me su esercizi circa il carattere di una serie del seguente tipo, di cui davvero non riesco a capire il funzionamento:
$ sum_(n = \1) n int_(0)^(1/n) tan(tsqrt(t))/t dt $
Non sono riuscito a completare il simbolo di serie aggiungendo $ oo $ .
Non avendo mai visto questa sorta di esercizi prima di ora, ho tentato di fare mente locale e mi è parso ovvio il fatto che, per capire se la serie diverge o converge sarebbe stato necessario capire come si comportava l'integrale improprio. Ho allora proceduto a spezzarlo in due integrali, il primo con estremi 0;1 il secondo 1;1/n. Per quanto riguarda il primo è stato facile mostrarne la convergenza, ma il secondo mi pone difficoltà a livello concettuale per il fatto di avere non un valore fissato ma una variabile che dovrebbe (se ci ho capito qualcosa) interessarmi soltanto nel caso in cui
$ n rarr oo $
d'altraparte in questo caso 1/n tende a 0, e quindi avrei di fronte un integrale che va da 0 a 0.
Inoltre, immaginando di aver capito come si comporta l'integrale, ed immaginando di aver dimostrato che esso converga a 0, come potrei in tal caso confrontare nel termine generale della serie l'ordine di n, che tende a infinito, e quello dell'integrale, che tenderebbe a 0? Come potrei capire chi vince fra i due?
Ringrazio da ora, se esistono, quelle anime buone che mi aiuteranno.
Risposte
L’unico estremo che ti dà problemi è $0$; però ogni integrale $I_n = int_0^(1/n) (tan (t sqrt(t)))/t text( d) t$ è convergente in $0$, quindi non c’è nessun problema.
Per capire come si comporta la serie ti basta, ad esempio, studiare l’ordine di infinitesimo del termine generale, i.e. $n I_n$.
Per fare ciò, potresti pensare di sfruttare saggiamente il teorema della media o qualche risultato simile.
Prova.
Per capire come si comporta la serie ti basta, ad esempio, studiare l’ordine di infinitesimo del termine generale, i.e. $n I_n$.
Per fare ciò, potresti pensare di sfruttare saggiamente il teorema della media o qualche risultato simile.
Prova.
Ciao Nota,
A parte il fatto che l'hai scritta male (quella parentesi tonda non serve o, se proprio la vuoi mettere, va chiusa dopo il $\text{d}t $) la serie proposta è la seguente:
$\sum_{n = 1}^{+\infty} n\int_{0}^{1/n} tan(t\sqrt(t))/t \text{d}t $
Per risolverla userei gli sviluppi in serie, per cui, trascurando i termini di ordine superiore, si ha:
$\sum_{n = 1}^{+\infty} n [2/3 t^{3/2}]_0^{1/n} = 2/3 \sum_{n = 1}^{+\infty} n 1/n^{3/2} = 2/3 \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^{1/2}$
L'ultima scritta è la serie armonica generalizzata $\sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^{\alpha}$ con $\alpha = 1/2 $ che è divergente; pertanto si conclude che la serie proposta è divergente.
A parte il fatto che l'hai scritta male (quella parentesi tonda non serve o, se proprio la vuoi mettere, va chiusa dopo il $\text{d}t $) la serie proposta è la seguente:
$\sum_{n = 1}^{+\infty} n\int_{0}^{1/n} tan(t\sqrt(t))/t \text{d}t $
Per risolverla userei gli sviluppi in serie, per cui, trascurando i termini di ordine superiore, si ha:
$\sum_{n = 1}^{+\infty} n [2/3 t^{3/2}]_0^{1/n} = 2/3 \sum_{n = 1}^{+\infty} n 1/n^{3/2} = 2/3 \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^{1/2}$
L'ultima scritta è la serie armonica generalizzata $\sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^{\alpha}$ con $\alpha = 1/2 $ che è divergente; pertanto si conclude che la serie proposta è divergente.
Grazie ad entrambi per avermi aiutato.
Sono riuscito in fine a risolvere la serie semplificando il limite con De L'Hopital. Mi piacerebbe però capire meglio le strade che avreste seguito.
Ciao gugo.
Non capisco perché dici che l'unico estremo problematico sarebbe 0. A me pare evidente che anche a 1/n succede qualcosa di strano all'interno dell'integrale e, per quanto sia riuscito ad arrivare al risultato, ancora non riesco a figurarmi per bene la questione di avere come primo estremo 0 e come secondo estremo un fattore che comunque tende a 0 quando ci interessa maggiormente nel determinare il carattere della serie, e cioè quando n tende a infinito.
Inoltre, non mi è neanche chiaro come avrei potuto utilizzare il teorema della media. Potresti imboccare la soluzione a questo poppante di analisi I?
Scusami pilloeffe,
non è che potresti illustrare meglio come dovrei applicare gli sviluppi all'integrale per ottenere ciò che a cui arrivi tu? (Il mio dubbio più grande è circa cosa ci permette di applicare Taylor alla funzione all'interno di un integrale definito)
Grazie se vorrete aiutarmi
Sono riuscito in fine a risolvere la serie semplificando il limite con De L'Hopital. Mi piacerebbe però capire meglio le strade che avreste seguito.
"gugo82":
L’unico estremo che ti dà problemi è $0$; però ogni integrale $I_n = int_0^(1/n) (tan (t sqrt(t)))/t text( d) t$ è convergente in $0$, quindi non c’è nessun problema.
Per capire come si comporta la serie ti basta, ad esempio, studiare l’ordine di infinitesimo del termine generale, i.e. $n I_n$.
Per fare ciò, potresti pensare di sfruttare saggiamente il teorema della media o qualche risultato simile.
Prova.
Ciao gugo.
Non capisco perché dici che l'unico estremo problematico sarebbe 0. A me pare evidente che anche a 1/n succede qualcosa di strano all'interno dell'integrale e, per quanto sia riuscito ad arrivare al risultato, ancora non riesco a figurarmi per bene la questione di avere come primo estremo 0 e come secondo estremo un fattore che comunque tende a 0 quando ci interessa maggiormente nel determinare il carattere della serie, e cioè quando n tende a infinito.
Inoltre, non mi è neanche chiaro come avrei potuto utilizzare il teorema della media. Potresti imboccare la soluzione a questo poppante di analisi I?
"pilloeffe":
Ciao Nota,
A parte il fatto che l'hai scritta male (quella parentesi tonda non serve o, se proprio la vuoi mettere, va chiusa dopo il $\text{d}t $) la serie proposta è la seguente:
$\sum_{n = 1}^{+\infty} n\int_{0}^{1/n} tan(t\sqrt(t))/t \text{d}t $
Per risolverla userei gli sviluppi in serie, per cui, trascurando i termini di ordine superiore, si ha:
$\sum_{n = 1}^{+\infty} n [2/3 t^{3/2}]_0^{1/n} = 2/3 \sum_{n = 1}^{+\infty} n 1/n^{3/2} = 2/3 \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^{1/2}$
L'ultima scritta è la serie armonica generalizzata $\sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^{\alpha}$ con $\alpha = 1/2 $ che è divergente; pertanto si conclude che la serie proposta è divergente.
Scusami pilloeffe,
non è che potresti illustrare meglio come dovrei applicare gli sviluppi all'integrale per ottenere ciò che a cui arrivi tu? (Il mio dubbio più grande è circa cosa ci permette di applicare Taylor alla funzione all'interno di un integrale definito)
Grazie se vorrete aiutarmi
"Nota":
Grazie ad entrambi per avermi aiutato.
Prego.
"Nota":
non è che potresti illustrare meglio come dovrei applicare gli sviluppi all'integrale per ottenere ciò che a cui arrivi tu? (Il mio dubbio più grande è circa cosa ci permette di applicare Taylor alla funzione all'interno di un integrale definito)
Dunque... Come dovresti sapere si ha:
$tan(x) = x + o(x^2) $
per $|x| < \pi/2 $. Sostituendo $t\sqrt{t}$ al posto di $x$ si ha:
$tan(t\sqrt{t}) = t\sqrt{t} + o(t^3) $
$tan(t\sqrt{t})/t = \sqrt{t} + o(t^2) $
per $ 0 < t < (\pi/2)^{2/3} $. Ora, dato che l'integrale è fra $0 $ e $1/n $ e si ha $1/n < (\pi/2)^{2/3} \quad \AA n >= 1 $, è lecito applicare lo sviluppo in serie e, trascurando l'$o$, scrivere $\sqrt{t} $ al posto della funzione integranda, che poi si integra facilmente e si perviene al risultato che ti ho già scritto nel mio post precedente.
Adesso ti propongo una variante dell'esercizio complicandolo:
$\sum_{n = 1}^{+\infty} n^p \int_{0}^{1/n} tan(t\sqrt(t))/t \text{d}t $
Determinare per quali valori del parametro $p $ la serie è convergente.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo