Serie Armonica Generalizzata (??!!) - Indicazione/Interpretazione Esercizio
Buonasera a Tutti,
come detto in altro post chiedo un secondo aiuto relativamente ad un esercizio da risolvere nel quale ho molti dubbi, su come procedere (ed è un ipotetico esercizio che potrei trovare all'esame fra un paio di giorni).
Prima di procedere con la risoluzione dello stesso ne ho dato una interpretazione che vi elenco di seguito:
Sul numeratore penso che la mia interpretazione sia corretta, ma sul denominatore ho fortissimi dubbi, perchè se la mia interpretazione è corretta a quel punto sarebbero solo da considerare le tre ipotesi di alpha (minore, uguale o maggiore di 2) relativamente alla serie armonica standard e generalizzata!!!!
Grazie a Tutti
come detto in altro post chiedo un secondo aiuto relativamente ad un esercizio da risolvere nel quale ho molti dubbi, su come procedere (ed è un ipotetico esercizio che potrei trovare all'esame fra un paio di giorni).
Prima di procedere con la risoluzione dello stesso ne ho dato una interpretazione che vi elenco di seguito:
Sul numeratore penso che la mia interpretazione sia corretta, ma sul denominatore ho fortissimi dubbi, perchè se la mia interpretazione è corretta a quel punto sarebbero solo da considerare le tre ipotesi di alpha (minore, uguale o maggiore di 2) relativamente alla serie armonica standard e generalizzata!!!!
Grazie a Tutti
Risposte
Immagino che la serie parta da 2, altrimenti ciccia proprio.
$ sum_(n=2)^(oo) (n^2+log^3n)/(n^alphalog^5n) $ , giusto?
Poi non capisco se c'è un alpha accanto al logaritmo al numeratore.
In ogni caso:
$ alpha<2$ , non si soddisfa la condizione necessaria sufficiente in quanto il limite diverge -> $ lim_(n->+oo)(n^2+log^3n)/(n^alphalog^5n) $ , ed essendo la successione a termini positivi, la serie diverge.
E questo è già un piccolo passo, prova a proseguire tu.
$ sum_(n=2)^(oo) (n^2+log^3n)/(n^alphalog^5n) $ , giusto?
Poi non capisco se c'è un alpha accanto al logaritmo al numeratore.
In ogni caso:
$ alpha<2$ , non si soddisfa la condizione necessaria sufficiente in quanto il limite diverge -> $ lim_(n->+oo)(n^2+log^3n)/(n^alphalog^5n) $ , ed essendo la successione a termini positivi, la serie diverge.
E questo è già un piccolo passo, prova a proseguire tu.
Purtroppo da quanto parte la serie non ne ho idea....l'esercizio non lo indica 
Ad ogni modo dalle indicazioni avute stamane ho svolto l'esercizio nel seguente modo:
Appena ricevo un feedback dal prof e/o dal tutor (speriamo non in tempi biblici) aggiorno la situazione che magari può essere utile anche ad altri
Nel frattempo grazie mille per la celere risposta
Ad ogni modo dalle indicazioni avute stamane ho svolto l'esercizio nel seguente modo:
Appena ricevo un feedback dal prof e/o dal tutor (speriamo non in tempi biblici) aggiorno la situazione che magari può essere utile anche ad altri
Nel frattempo grazie mille per la celere risposta
A meno che non abbia preso un abbaglio, i risultati che hai ottenuto sono corretti, nulla da dire in proposito.
Ti sei autochiarito o altri dubbi?
Ti sei autochiarito o altri dubbi?
"fra_62":
Ti sei autochiarito o altri dubbi?
Il mio unico dubbio resta quello relativo alla casistica tre....che ho risolto semplicemente copiando il risultato da appunti che avevo nelle lezioni.
DIciamo che le SERIE non mi sono proprio chiarissime, come le successioni, etc, quindi questo complica un pò le cose.
Ad ogni modo nello specifico, non riesco bene a capire perchè nel caso di armonica generalizzata il logaritmo è ininfluente, mentre nel caso in cui la serie è armonica "standard" a quel punto diventa influente
Per la casistica 3 ci riduciamo a studiare:
$ sum_(n = 2)^(oo) (n^2+3log^3n)/(n^3log^5n) $
Con il confronto asintotico, come avevi detto tu, ci ritroviamo con $ sum_(n = 2)^(oo) 1/(nlog^5n) $
E questo tipo di serie è da prendere come "notevole", generalizzandola $ sum_(n = 2)^(oo) 1/(n|log^qn|) $ , converge se $q>1$ e diverge
quando $q<=1 $. E' detta serie armonica modificata. Il logaritmo "influisce" per questo motivo.
Per quanto riguarda una serie armonica generalizzata con il logaritmo, scriviamola come:
$ sum_(n = 2)^(oo) 1/(n^plog^qn) $ , e prova a studiarla col criterio del confronto integrale, utilizzando quelli notevoli, ti ci ritrovi di più?
$ sum_(n = 2)^(oo) (n^2+3log^3n)/(n^3log^5n) $
Con il confronto asintotico, come avevi detto tu, ci ritroviamo con $ sum_(n = 2)^(oo) 1/(nlog^5n) $
E questo tipo di serie è da prendere come "notevole", generalizzandola $ sum_(n = 2)^(oo) 1/(n|log^qn|) $ , converge se $q>1$ e diverge
quando $q<=1 $. E' detta serie armonica modificata. Il logaritmo "influisce" per questo motivo.
Per quanto riguarda una serie armonica generalizzata con il logaritmo, scriviamola come:
$ sum_(n = 2)^(oo) 1/(n^plog^qn) $ , e prova a studiarla col criterio del confronto integrale, utilizzando quelli notevoli, ti ci ritrovi di più?
Grazie fra_62,
ora ho capito (almeno credo)!!!
Non conoscevo la serie armonica modificata "notevole"
A questo punto , per conferma, se ho ben capito , nella casistica tre di cui sopra la convergenza è data dal fatto che beta = 5 è maggiore di 1 e non come ho erroneamente scritto io perchè beta = 5 che è maggiore di alpha = 3.
DIco bene??
ora ho capito (almeno credo)!!!
Non conoscevo la serie armonica modificata "notevole"
A questo punto , per conferma, se ho ben capito , nella casistica tre di cui sopra la convergenza è data dal fatto che beta = 5 è maggiore di 1 e non come ho erroneamente scritto io perchè beta = 5 che è maggiore di alpha = 3.
DIco bene??
"Alex_SSRI":
Grazie fra_62,
ora ho capito (almeno credo)!!!
Non conoscevo la serie armonica modificata "notevole"
A questo punto , per conferma, se ho ben capito , nella casistica tre di cui sopra la convergenza è data dal fatto che beta = 5 è maggiore di 1 e non come ho erroneamente scritto io perchè beta = 5 che è maggiore di alpha = 3.
DIco bene??
Esatto, $ 5>1 $ , quindi la serie converge
Per il confronto integrale per $ alpha>3 $ ti ci sei trovato?
Nota: all'inizio della discussione ti ho chiesto se la serie fosse definita da 2 semplicemente perchè se partisse da 1 non esisterebbe nemmeno.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo