Serie armonica (generalizzata)
Domanda di curiosità.
Perchè sul libro è scritto ''serie armonica (generalizzata)'' con il 'generalizzata' tra parentesi?
Equivale a dire semplicemente 'serie armonica' o invece dicendo anche 'generalizzata' dici qualcosa in più?
Perchè sul libro è scritto ''serie armonica (generalizzata)'' con il 'generalizzata' tra parentesi?
Equivale a dire semplicemente 'serie armonica' o invece dicendo anche 'generalizzata' dici qualcosa in più?
Risposte
Serie armonica: $sum 1/n$
Serie armonica generalizzata: $sum 1/(n^alpha), alpha>0$.
Serie armonica generalizzata: $sum 1/(n^alpha), alpha>0$.
La prima è divergente.
La seconda invece può avere qualunque $alpha$ che sia maggiore a $0$ quindi poi si particolarizza: $alpha=1$ è la serie armonica del tipo $1,1/2,1/3.......$ e diverge, mentre se è $alpha>1$ quindi da 2 in poi, la serie armonica è convergente.
Giusto?
La seconda invece può avere qualunque $alpha$ che sia maggiore a $0$ quindi poi si particolarizza: $alpha=1$ è la serie armonica del tipo $1,1/2,1/3.......$ e diverge, mentre se è $alpha>1$ quindi da 2 in poi, la serie armonica è convergente.
Giusto?
Quando dici $alpha>0$, in mancanza di altre informazioni si assume $alpha \in RR$.
ma $alpha \in RR$ non prende anche i numeri negativi?
Si. Intendevo $a \in RR, a>0$. Meglio?
Si ,domanda stupidissima
ha senso scrivere: $1/n^(0,110012)$?
Perchè se appartiene ad $RR$ ovvero i numeri reali, questi comprendono i numeri scritti in forma decimale
ha senso scrivere: $1/n^(0,110012)$?
Perchè se appartiene ad $RR$ ovvero i numeri reali, questi comprendono i numeri scritti in forma decimale
Certamente. E la serie $sum 1/(n^(0.110012))$ che carattere ha? Converge o diverge?
diverge perchè è $<1$
Scriviamo:
[tex]\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {1 \over {n^{k}} }[/tex]
dunque:
se k<1 la serie diverge,
se k>1 converge,
ma se k è minore di zero cosa succede??
[tex]\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} {1 \over {n^{k}} }[/tex]
dunque:
se k<1 la serie diverge,
se k>1 converge,
ma se k è minore di zero cosa succede??
Risponditi da solo, è molto facile. Ricordati la condizione necessaria alla convergenza.
"Hop Frog":
Scriviamo:
[tex]\displaystyle\sum_{n = 1}^{infinito} {1 \over {n^{k}} }[/tex]
dunque:
se k<1 la serie diverge,
se k>1 converge,
ma se k è minore di zero cosa succede??
io direi più precisamente che per $K<=1$ la serie diverge
il caso di $k=1$ è sempre divergente.
se $k<0$ io direi che diverge sempre, perchè è parte di $k<1$, almeno credo.
"clever":
[quote="Hop Frog"]Scriviamo:
[tex]\displaystyle\sum_{n = 1}^{infinito} {1 \over {n^{k}} }[/tex]
dunque:
se k<1 la serie diverge,
se k>1 converge,
ma se k è minore di zero cosa succede??
io direi più precisamente che per $K<=1$ la serie diverge
il caso di $k=1$ è sempre divergente.
se $k<0$ io direi che diverge sempre, perchè è parte di $k<1$, almeno credo.[/quote]
Diverge, ma indifferentemente dal fatto che deve essere $k<1$
Ma perchè l'argomento non è infinitesimo per $n->+oo$
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