Serie armonica generalizzata

[Gmork]

Dal criterio del confronto mi è chiaro che essendo [tex]\frac{1}{n}<\frac{1}{n^\alpha}[/tex] se [tex]0<\alpha \le 1[/tex] la serie [tex]\sum \frac{1}{n^\alpha}[/tex] diverge.

Ma non mi è chiaro perchè se [tex]\alpha>1[/tex] la serie [tex]\sum \frac{1}{n^\alpha}[/tex] converge

[Fioravante Patrone1]

"Orlok":Dal criterio del confronto mi è chiaro che essendo [tex]\frac{1}{n}<\frac{1}{n^\alpha}[/tex] se [tex]0<\alpha \le 1[/tex] la serie [tex]\sum \frac{1}{n^\alpha}[/tex] diverge.

Ma non mi è chiaro perchè se [tex]\alpha>1[/tex] la serie [tex]\sum \frac{1}{n^\alpha}[/tex] converge

Infatti, non è possibile garantirlo usando solo il criterio del confronto e la serie armonica.
Modo standard è usare il criterio integrale.

[gugo82]

"Fioravante Patrone":[quote="Orlok"]Dal criterio del confronto mi è chiaro che essendo [tex]\frac{1}{n}<\frac{1}{n^\alpha}[/tex] se [tex]0<\alpha \le 1[/tex] la serie [tex]\sum \frac{1}{n^\alpha}[/tex] diverge.

Ma non mi è chiaro perchè se [tex]\alpha>1[/tex] la serie [tex]\sum \frac{1}{n^\alpha}[/tex] converge

Infatti, non è possibile garantirlo usando solo il criterio del confronto e la serie armonica.
Modo standard è usare il criterio integrale.[/quote]
O il criterio di condensazione di Cauchy (che non richiede conoscenze di Calcolo Integrale).

[gac1]

...o, in alternativa (se uno non ha ancora visto gli integrali), il criterio di condensazione:
se $(a_n)$ è una successione positiva monotona decrescente, allora $\sum_n a_n$ ha lo stesso carattere di $\sum_n 2^n a_{2^n}$.

EDIT: sono stato anticipato da gugo...