Serie armonica generalizzata.

[galles90]

Buongiorno,

Sto studiando la serie armonica generalizzata, ci sono vari punti della dimostrazione che non mi sono molto chiari. Vi riporto la dimostrazione del mio libro"Analisi matematica uno-Marcellini-Sbordone".

Sia $p>0$ e $ k in mathbb{N}$,e consideriamo la serie armonica generalizzata di termine generale $a_n=(1)/(n^(p))$.

Se $k le x le k+1 to (1)/(k+1)^p le 1/x^p le 1/k^p$ $forall x in [k,k+1]$.

Integriamo nell'intervallo $forall x in [k,k+1]$ e sommiamo rispetto $k$:

1

$sum_(k=1)^n(1)/(k+1)^p le int_1^(n+1)dx/x le sum_1^n 1/k^p$

a) La somma destra della relazione precedente, si ha la ridotta n-esima $s_n$
b) La somma a sinistra della relazione precedenti, si ha la ridotta (n+1)-esima a meno del primo termine, il quale è uguale ad 1.

Quindi la 1) la possiamo riscrivere come:
2

$ s_(n+1)-1 le int_1^(n+1)dx/x le s_n$

Occore distingure due casi:
$p<1$ dalla 2, si ha :

$s_n ge int_1^(n+1)dx/x=[(n+1)^(1-p)/(1-p)-(1)/(1-p)]$

$1-p>0$, allora l'ultimo membro tende a $+ infty$ per $n to + infty$. Quindi anche la successione tende a $+ infty$, pertanto la serie armonica generalizzara è divergente per $p<1$.

$p>1$

$s_(n+1) le 1+ int_n^(n+1)dx/x=1+[(n+1)^(1-p)/(1-p)-(1)/(1-p)]$

$1-p<0$ per $n to +infty$ la successione $(n+1)^(1-p)$ tende a $0$ quindi la successione $s_(n+1)$, essendo che la serie è a termini positivi, risulta essere convergente.

I miei dubbi sono in particolare sulla parte iniziale, cioè:

quando dice : Integriamo nell'intervallo $forall x in [k,k+1]$ e sommiamo rispetto $k$:

l'intendo dell'autore è quello di far vedere, che l'area racchiusa dalla curva di equazione $y=1/x$ nell'intervallo $[k,k+1]$ risulta maggiore della somma a sinistra, e minore a destra. (Non so se mi sono espresso bene)

Ci sono altre due domande, ma preferisco riportarle dopo, anche per non appesantire il post.

Grazie

Cordiali saluti.

[otta96]

Ma cos'è che non ti è chiaro? Lui ha due disuguaglianze: $\frac{1}{(k+1)^p}<=\frac{1}{x^p}<=frac{1}{k^p}$, integra dunque ottiene $\int_{k}^(k+1)\frac{1}{(k+1)^p}dx<=\int_{k}^(k+1)\frac{1}{x^p}dx<=\int_{k}^(k+1)frac{1}{k^p}dx$ (le disuguaglianze si mantengono per la monotonia dell'integrale) e poi somma tutte queste disuguaglianze per $k$ che va da $1$ a $n$ termine a termine ottenendo quello che c'è scritto nel passaggio dopo.