Serie armonica GENERALIZZATA

[Andrea@BS]

Salve a tutti,
qualcuno sarebbe in grado di spiegarmi un attimo come funziona la serie armonica generalizzata?

So che la si scrive così:

$\sum_{k=1}^infty 1/n^alpha$ ,$alpha in RR$ (si intende (come giustamente è scritto) $alpha$ appartiene a tutti i numeri reali? O solo quelli non negativi ( $alpha > 0$ )?

Poi ci sono i vari casi:
- $alpha <= 1$, diverge (nel caso $alpha$ tenga conto anche dei numeri negativi, perché diverge? In caso riguardi solo i numeri compresi tra 0 e 1 (estremi compresi) allora ok)
- $alpha >= 2$ converge (se $\sum_{k=1}^infty 1/n$ diverge perché $\sum_{k=1}^infty 1/n^2$ converge?)

Poi ho anche un terzo caso
- $1criterio di condensazione di Cauhy (cioè?)

Ringrazio tanto chi avrà pazienza

[gugo82]

Beh, hai provato ad applicare il Criterio in questione?
Cosa hai trovato?
Che deduzioni puoi farne?

[cooper1]

in generale si ha che $alpha in RR$. perchè infatti non potrebbe assumere valori negativi?
in secondo luogo la serie armonica generalizzata converge per $alpha > 1$ e diverge positivamente per $alpha <= 1$.
per dimostrarlo puoi usare il criterio di condensazione che dice che:

Se$ { a_{n}} a_{n} $è una successione positiva non crescente, la serie
${ \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} { \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$
converge se e solo se converge la serie
${ \sum _{n=1}^{\infty }2^{n}a_{2^{n}}} { \sum _{n=1}^{\infty }2^{n}a_{2^{n}}}$

quindi ottieni che la serie armonica generalizzata ha lo stesso carattere della serie:

$ sum 2^n / (2^n)^(alpha) = sum 1/(2^((alpha-1)n)) $

che essendo una serie geometrica converge solo se l'esponente è positivo, ovvero per $alpha > 1$

EDIT: avevo aperto un nuovo argomento per rispondere. adesso lo cancello.