Serie armonica e integrale generalizzato.
(1) Dimostrare che
\[ \lim\limits_{\epsilon \to 0} \int_{[0,1-\epsilon]^2} \frac{dxdy}{1-xy}=\sum\limits_{n\in \mathbb{N}^*} \frac{1}{n^2} \]
(2) E dedurre il valore della serie.
Il punto (1) non ho nessuna idea...
Supponendo di aver fatto il punto (1), abbiamo dimostrato che l'integrale converge, dunque
\[ \lim\limits_{\epsilon \to 0} \int_{[0,1-\epsilon]^2} \frac{dxdy}{1-xy}= \lim\limits_{a \to 1} \int_{[0,a]^2} \frac{dxdy}{1-xy} \]
Fissiamo un \( a \)
\[ \int_{[0,a]^2} \frac{dxdy}{1-xy}= \int_{0}^{a} \int_{0}^{a} \frac{dxdy}{1-xy}\]
Effettuiamo il cambiamento di variabile \( x:= u-v \) e \( y:= u+v \) con \( u \in [-1/2,1/2] \) e con \( v \in [-1/2,1/2] \), inoltre il determinante della Jacobiana è \( 2 \).
pertanto l'integrale diviene
\[ \int_{0}^{a} \int_{0}^{a} \frac{2}{v^2+ 1-u^2} dv du= \int_{0}^{a} \frac{2 \arctan(\frac{a}{\sqrt{1-u^2}})}{\sqrt{1-u^2}}du = \ldots?? \]
Ma provando a fare per parti mi viene una cosa orribile...
Speravo di sfruttare le identità \( \arctan(\frac{u}{\sqrt{1-u^2}}) = \arcsin(u) \) e \( \arctan(\frac{1-u}{\sqrt{1-u^2}}) = \frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\arcsin(u) \) anche perché
\[ \int_{0}^{a} \frac{2 \arctan(\frac{a}{\sqrt{1-u^2}})}{\sqrt{1-u^2}}du = \int_{0}^{a} 2 \arctan(\frac{a}{\sqrt{1-u^2}}) \arcsin'(u) du \]
\[ \lim\limits_{\epsilon \to 0} \int_{[0,1-\epsilon]^2} \frac{dxdy}{1-xy}=\sum\limits_{n\in \mathbb{N}^*} \frac{1}{n^2} \]
(2) E dedurre il valore della serie.
Il punto (1) non ho nessuna idea...
Supponendo di aver fatto il punto (1), abbiamo dimostrato che l'integrale converge, dunque
\[ \lim\limits_{\epsilon \to 0} \int_{[0,1-\epsilon]^2} \frac{dxdy}{1-xy}= \lim\limits_{a \to 1} \int_{[0,a]^2} \frac{dxdy}{1-xy} \]
Fissiamo un \( a \)
\[ \int_{[0,a]^2} \frac{dxdy}{1-xy}= \int_{0}^{a} \int_{0}^{a} \frac{dxdy}{1-xy}\]
Effettuiamo il cambiamento di variabile \( x:= u-v \) e \( y:= u+v \) con \( u \in [-1/2,1/2] \) e con \( v \in [-1/2,1/2] \), inoltre il determinante della Jacobiana è \( 2 \).
pertanto l'integrale diviene
\[ \int_{0}^{a} \int_{0}^{a} \frac{2}{v^2+ 1-u^2} dv du= \int_{0}^{a} \frac{2 \arctan(\frac{a}{\sqrt{1-u^2}})}{\sqrt{1-u^2}}du = \ldots?? \]
Ma provando a fare per parti mi viene una cosa orribile...
Speravo di sfruttare le identità \( \arctan(\frac{u}{\sqrt{1-u^2}}) = \arcsin(u) \) e \( \arctan(\frac{1-u}{\sqrt{1-u^2}}) = \frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\arcsin(u) \) anche perché
\[ \int_{0}^{a} \frac{2 \arctan(\frac{a}{\sqrt{1-u^2}})}{\sqrt{1-u^2}}du = \int_{0}^{a} 2 \arctan(\frac{a}{\sqrt{1-u^2}}) \arcsin'(u) du \]
Risposte
Secondo me questo articolo contiene la soluzione:
https://link.springer.com/article/10.1007%2FBF03026576
https://link.springer.com/article/10.1007%2FBF03026576
Ciao, vale
\[ \int_{[0,1-\epsilon]^2} \frac{1}{1-xy} dxdy = \int_0^{1-\epsilon} \biggl ( \int_0^{1-\epsilon} \frac{1}{1-xy} dx \biggr ) dy = \int_0^{1-\epsilon} -\frac{1}{y} \ln (1-y(1-\epsilon)) dy = \text{Li}_2((1-\epsilon)^2) \]
dove \( \text{Li}_2 \) è il polilogaritmo di ordine 2, definito come
\[ \text{Li}_2(x) = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{x^k}{k^2} \]
e dunque hai l'uguaglianza che cerchi per $x=1$.
P.S. : non ho idea se il framework in cui ti muovi contempli l'esistenza delle funzioni speciali e sopratutto considera che qualche dettaglio tecnico è omesso.
\[ \int_{[0,1-\epsilon]^2} \frac{1}{1-xy} dxdy = \int_0^{1-\epsilon} \biggl ( \int_0^{1-\epsilon} \frac{1}{1-xy} dx \biggr ) dy = \int_0^{1-\epsilon} -\frac{1}{y} \ln (1-y(1-\epsilon)) dy = \text{Li}_2((1-\epsilon)^2) \]
dove \( \text{Li}_2 \) è il polilogaritmo di ordine 2, definito come
\[ \text{Li}_2(x) = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{x^k}{k^2} \]
e dunque hai l'uguaglianza che cerchi per $x=1$.
P.S. : non ho idea se il framework in cui ti muovi contempli l'esistenza delle funzioni speciali e sopratutto considera che qualche dettaglio tecnico è omesso.
"3m0o":
\[ \int_{0}^{a} \int_{0}^{a} \frac{2}{v^2+ 1-u^2} dv du= \int_{0}^{a} \frac{2 \arctan(\frac{a}{\sqrt{1-u^2}})}{\sqrt{1-u^2}}du = \ldots?? \]
Ma provando a fare per parti mi viene una cosa orribile...
Quel \(1+v^2-u^2\) grida \(v=r\cosh \zeta, u=r\sinh \zeta\).
"dissonance":
Secondo me questo articolo contiene la soluzione:
https://link.springer.com/article/10.1007%2FBF03026576
Sarò cretino io, ma non vedo come aprire l'articolo
"Bremen000":
Ciao, vale
\[ \int_{[0,1-\epsilon]^2} \frac{1}{1-xy} dxdy = \int_0^{1-\epsilon} \biggl ( \int_0^{1-\epsilon} \frac{1}{1-xy} dx \biggr ) dy = \int_0^{1-\epsilon} -\frac{1}{y} \ln (1-y(1-\epsilon)) dy = \text{Li}_2((1-\epsilon)^2) \]
dove \( \text{Li}_2 \) è il polilogaritmo di ordine 2, definito come
\[ \text{Li}_2(x) = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{x^k}{k^2} \]
e dunque hai l'uguaglianza che cerchi per $ x=1 $.
P.S. : non ho idea se il framework in cui ti muovi contempli l'esistenza delle funzioni speciali e sopratutto considera che qualche dettaglio tecnico è omesso.
Per dirla alla tua maniera, penso proprio che framework in cui mi muovo non contempli minimamente l'esistenza delle funzioni speciali. Non avevo idea prima di adesso nemmeno dell'esistenza del polilogaritmo
"dissonance":
Quel \(1+v^2-u^2\) grida \(v=r\cosh \zeta, u=r\sinh \zeta\).
Si vero:
\( \begin{pmatrix}
v\\
u
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
r \cosh \theta\\
r \sinh \theta
\end{pmatrix} \), il determinante del Jacobiano è simplemente 1.
\[ \int_{?}^{?} \int_{?}^{?} \frac{2}{1+r^2}dr d\theta = \int 2 \arctan(r)\mid_{?}^{?} d\theta = 2 \arctan(r) \mid_{?}^{?} \theta \mid_{?}^{?} \]
@3m0o
[ot]Il francese ti sta rovinando[/ot]
[ot]Il francese ti sta rovinando
[/ot]
@axpgn
[ot]Assolutamente si![/ot]
[ot]Assolutamente si!
[/ot]
L'articolo è purtroppo dietro un paywall. Se non puoi connetterti dal wifi dell'università, che ti dovrebbe dare accesso, bisogna cercarne una versione in pdf in rete. L'autore è Tom Apostol e il titolo è "A proof that Euler missed: evaluating zeta(2) the easy way". Math. Intelligencer (1983), 5-3, pp. 59-60.
Ciao 3m0o,
Per il punto 1) la prima cosa che mi è venuta in mente è
$\int_{[0,1-\epsilon]^2} \frac{1}{1-xy} \text{d}x \text{d}y = \int_{[0,1-\epsilon]^2} \sum_{n = 1}^{+\infty} x^{n - 1}y^{n - 1} \text{d}x \text{d}y = \sum_{n = 1}^{+\infty} [\int_{0}^{1-\epsilon} x^{n - 1}\text{d}x ]^2 $
Anche questo link funziona:
http://empslocal.ex.ac.uk/people/staff/rjchapma/etc/zeta2.pdf
Per il punto 1) la prima cosa che mi è venuta in mente è
$\int_{[0,1-\epsilon]^2} \frac{1}{1-xy} \text{d}x \text{d}y = \int_{[0,1-\epsilon]^2} \sum_{n = 1}^{+\infty} x^{n - 1}y^{n - 1} \text{d}x \text{d}y = \sum_{n = 1}^{+\infty} [\int_{0}^{1-\epsilon} x^{n - 1}\text{d}x ]^2 $
Anche questo link funziona:
http://empslocal.ex.ac.uk/people/staff/rjchapma/etc/zeta2.pdf
Mi associo a pilloeffe!
Quando vedo $1/(1-t)$ la prima cosa a cui penso è la serie geometrica di ragione $-1
Questo ragionamento, unito a qualche passaggio al limite, accomoda il punto 1.
Il calcolo della somma è più fastidioso.
P.S.: [ot]Sarebbe interessante sapere da quali eserciziari stai tirando fuori questi esercizi.[/ot]
Quando vedo $1/(1-t)$ la prima cosa a cui penso è la serie geometrica di ragione $-1
Questo ragionamento, unito a qualche passaggio al limite, accomoda il punto 1.
Il calcolo della somma è più fastidioso.
P.S.: [ot]Sarebbe interessante sapere da quali eserciziari stai tirando fuori questi esercizi.[/ot]
Grazie per i consigli ora provo,
[ot]Non gli ho presi da nessun eserciziario, ma, almeno così funziona nella mia università, il professore prepara delle serie di esercizi settimanalmente. Ad esempio per analisi 2 abbiamo a settimana 2 serie di esercizi, più un esercizio da consegnare che viene valutato e corretto dagli assistenti come se fosse un esercizio d'esame (anche se non ha valore effettivo). Dove il professore prenda questi esercizi non ne ho idea. So che il professore di analisi 1 nel primo semestre si basava su "Analyse" di Jacques Douchet e su "Calcul différentiel et intégral" di Jacques Douchet e Bruno Zwahlen.
Altre volte i professori li "inventano" gli esercizi, ad esempio quello di algebra non si basa su nessun libro e spesso li crea.[/ot]
"gugo82":
P.S.: [ot]Sarebbe interessante sapere da quali eserciziari stai tirando fuori questi esercizi.[/ot]
[ot]Non gli ho presi da nessun eserciziario, ma, almeno così funziona nella mia università, il professore prepara delle serie di esercizi settimanalmente. Ad esempio per analisi 2 abbiamo a settimana 2 serie di esercizi, più un esercizio da consegnare che viene valutato e corretto dagli assistenti come se fosse un esercizio d'esame (anche se non ha valore effettivo). Dove il professore prenda questi esercizi non ne ho idea. So che il professore di analisi 1 nel primo semestre si basava su "Analyse" di Jacques Douchet e su "Calcul différentiel et intégral" di Jacques Douchet e Bruno Zwahlen.
Altre volte i professori li "inventano" gli esercizi, ad esempio quello di algebra non si basa su nessun libro e spesso li crea.[/ot]
"axpgn":
Questo link a me funziona.
È proprio quello l'articolo! Bravo Alex. @3m0o: io ti consiglierei di leggerlo, sono solo due pagine e trovi una soluzione ben fatta e molto ben scritta.
Si si, domani lo leggo con calma con la mente più fresca, grazie mille.
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