Serie armonica del secondo tipo?

[pietrodig]

Ciao ragazzi, stavo cercando su internet la soluzione per un esercizio sullo studio della convergenza di una serie numerica, in particolare:

$\sum_{n=2}^oo logn/n$ per n da 2 a oo

Leggendo una risposta su yahoo answer un utente ha usato una fantomatica serie armonica del secondo tipo (o tipo 2) così definita:

$\sum_{n=1}^oo 1/(n^\alpha*(logn)^\beta)$

questa serie converge se $\alpha>1$ o se $\alpha=1 \e \beta>1$. Io francamente non l'ho mai sentita, anche andando a vedere su wikipedia non compare nulla. voi cosa ne pensate?

[Sk_Anonymous]

Ma qual è la serie di cui ti interessa conoscere il carattere? \(\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\log n}{n} \), e le \(\displaystyle x \) le hai messe a caso, o per sbaglio?
Se la serie è proprio quella che ho scritto io poc'anzi, ti invito a ragionare: \(\displaystyle \log 3> 1 \), quindi per \(\displaystyle n\ge 3\) vale \(\displaystyle \frac{1}{n} < \frac{\log n}{n} \), e per il criterio del confronto...

[pietrodig]

ops avevo scritto tutto in fretta e non mi ero accorto degli errori, adesso ho corretto tutto. cmq grazie per le dritte, ad ogni modo questa serie armonica del secondo tipo esiste?

[Sk_Anonymous]

Intorno alla nomenclatura non c'è mai concordanza universale (per esempio nel mio corso a quella serie è stato attribuito un altro nome). Ad ogni modo è una serie importante; volendo, si potrebbe vedere come un ulteriore generalizzazione della serie armonica generalizzata.

[Seneca1]

Aggiungo: puoi studiarne facilmente il carattere al variare dei parametri con il criterio di condensazione di Cauchy (o Cantor).

[pietrodig]

ok, grazie per la conferma

[pietrodig]

Ragazzi volevo chiedervi una cosa: esiste un metodo pratico per vedere se una serie è maggiorante o minorante di un'altra serie nota, in modo da applicare il confronto?

[Seneca1]

La definizione di serie minorante/maggiorante, naturalmente...