Serie armonica a segni alterni

[roberto.p89]

ciao a tutti,
devo riuscire a svolgere questo esercizio. Anche se è evidente lo devo dimostrare.
Determinare un numero $n_0$ tale che dal rango $n_0$ in su (per tutti gli $n>=n_0$)
$1/3-1/9+1/27-...+(-1)^(n+1)1/3^n<27/100$
siccome credo che il professore me lo chiederà all'orale qualcuno mi sa spiegare bene il procedimento per favore?
grazie comunque

[Sk_Anonymous]

Ti do un input, ma ora sono troppo fuso per mettermi a fare conti: prova a ragionare sulla serie geometrica, di cui puoi calcolare il valore esatto... Nella fattispecie la tua serie è la seguente: \[\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k+1} \frac{1}{3^{k}} \] ossia
\[\displaystyle \sum_{k=0} \frac{1}{3^{2k+1}} - \sum_{k=1} \frac{1}{3^{2k}} \]

[gugo82]

Cosa dice la stima del resto di una serie a segni alterni fornita dal criterio di Leibniz?

[Seneca1]

Era mia intenzione sottolineare una cosa...

"Delirium":\[\displaystyle \sum_{k=0} \frac{1}{3^{2k+1}} - \sum_{k=1} \frac{1}{3^{2k}} \]

Questo passaggio non è "gratuito" anche se è certamente vero; stai permutando infiniti termini della serie. La serie in esame è assolutamente convergente, quindi questo procedimento di separazione (termini di posto dispari e termini di posto pari) va bene...

P.S.: Non è vero ad esempio per la serie $sum (-1)^n/n$.

[Sk_Anonymous]

In realtà, Seneca, ho volontariamente omesso, forse impropriamente, il simbolo dell'infinito sopra il simbolo di sommatoria proprio perché non era mia intenzione permutare infiniti termini della serie. So pur bene che se il termine generale di una serie converge semplicemente ma non assolutamente, allora esiste un riordinamento \(\displaystyle \sigma: \mathbb{N} \to \mathbb{N} \) tale che \[\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{\sigma(n)} =L\] per ogni \(\displaystyle L \in \mathbb{R} \).

[Seneca1]

Salve Delirium.
La specificazione era per roberto.p89, naturalmente. Non c'è nulla di sbagliato in quello che hai scritto.