Serie armonica a segni alterni
Mi sono rimesso a fare un esercizio di analisi 1, ma non riesco a trovare la soluzione.
Trovare una permutazione di termini della seguente serie \[ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} \]
In modo tale che la serie con i termini permutati converga a 5.
EDIT:
Cioé io avevo pensato di ordinare i primi $x$ termini in modo che la somma sia circa 6, poi il primo termine negativo, poi i termini successivi positivi di somma circa 5.3333 poi il secondo termine negativo, etc.. ma non so se così la serie permutata converge a 5.
Cioé formo una nuova serie \[ \sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k \]
Dove \( b_1 = 1/2 + 1/4 + 1/6 + \ldots + 1/182760 \approx 6 \), \( b_2 = -1 \), poi \( b_3 = 1/182762 + \ldots + 1/2x \) con $x$ scelto in modo tale che \( b_3 \approx 5 + 1/3 \), poi $b_4 = -1/3 $ e così via...
Trovare una permutazione di termini della seguente serie \[ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} \]
In modo tale che la serie con i termini permutati converga a 5.
EDIT:
Cioé io avevo pensato di ordinare i primi $x$ termini in modo che la somma sia circa 6, poi il primo termine negativo, poi i termini successivi positivi di somma circa 5.3333 poi il secondo termine negativo, etc.. ma non so se così la serie permutata converge a 5.
Cioé formo una nuova serie \[ \sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k \]
Dove \( b_1 = 1/2 + 1/4 + 1/6 + \ldots + 1/182760 \approx 6 \), \( b_2 = -1 \), poi \( b_3 = 1/182762 + \ldots + 1/2x \) con $x$ scelto in modo tale che \( b_3 \approx 5 + 1/3 \), poi $b_4 = -1/3 $ e così via...
Risposte
Ma intende esplicitamente? Mi sembra un po' dura in quel caso…
Forse devi solo dimostrare che esiste tale permutazione?
Forse devi solo dimostrare che esiste tale permutazione?
"otta96":
Ma intende esplicitamente? Mi sembra un po' dura in quel caso…
Forse devi solo dimostrare che esiste tale permutazione?
Intende esplicitamente credo, ma può essere che abbia capito male e debba solo dimostrarlo.
Cosa hai provato a fare?
Ma la dimostrazione che la permutazione esiste l'ha fatta Riemann, questo è il Teorema dei riordinamenti di Riemann, che dice che per una serie semplicemente ma non assolutamente convergente esiste un riordinamento che può dare qualunque numero reale come somma della serie, esistono due riordinamenti che danno $ +oo $ o $ -oo $ rispettivamente, e un riordinamento che fa sì che la serie non converga.
Ed è il caso della serie armonica a segni alterni.
Insomma può succedere di tutto, la buona definizione di somma è andata a farsi benedire.
@3m0o Per quanto riguarda la convergenza a 5 con il tuo procedimento ci sei abbastanza vicino... se ho ben capito quello che hai scritto, almeno è simile al procedimento che mi è stato detto per trovare una permutazione tale che la somma dia un qualsiasi numero reale prefissato.
Non lo scrivo per timore di fare spoiler.
Ed è il caso della serie armonica a segni alterni.
Insomma può succedere di tutto, la buona definizione di somma è andata a farsi benedire.
@3m0o Per quanto riguarda la convergenza a 5 con il tuo procedimento ci sei abbastanza vicino... se ho ben capito quello che hai scritto, almeno è simile al procedimento che mi è stato detto per trovare una permutazione tale che la somma dia un qualsiasi numero reale prefissato.
Non lo scrivo per timore di fare spoiler.
Il teorema lo avevamo visto, ma come costruire la permutazione no e ce lo aveva lasciato in esercizio con la serie a segni alterni appunto. Sono vicino? Probabilmente invece di aggiungere i numeri positivi fino a raggiungere un numero strettamente piu grande di $5+$ "il numero negativo che sommo dopo" ad esempio io cercavo di arrivare a \( 5+1 \) perché dopo avrei aggiunto -1, poi avrei raggiunto 5+1/3 perché dopo avrei sommato -1/3 e così via. Dovrei sommare dapprima tutti gli \( a_n^+:= \max(0,a_n) \), dove $a_n $ è la mia successione di partenza, per arrivare in un intorno a destra di $5$ e poi sommare tutti gli \( a_n^{-} := \min(0,a_n) \) fino a entrare in un intorno sinistro di $5$ così magari riesco a controllare l'errore maggiormente e ridurre sempre l'ampiezza del intorno.
Però sei sicuro che la permutazione che ho dato io non fa convergere la serie a 5? Mi sembrano molto simili come idee, anche perché in quanto $ a_n^{-} \to 0 $ quando $n \to \infty $ abbiamo che all'inifnito $ 5 - a_n^{-} $ a partire da un certo $N>0$ è sempre più vicino a 5.
Però sei sicuro che la permutazione che ho dato io non fa convergere la serie a 5? Mi sembrano molto simili come idee, anche perché in quanto $ a_n^{-} \to 0 $ quando $n \to \infty $ abbiamo che all'inifnito $ 5 - a_n^{-} $ a partire da un certo $N>0$ è sempre più vicino a 5.
Ho scritto che ci sei vicino perché forse non avevo capito bene il tuo ragionamento, non capivo se ti avvicinavi ogni volta un po' più a $5$ o no. Va bene, credo, da come dici adesso.
Non è, mi pare, che ci sia una sola permutazione, ma l'idea è quella, di prendere positivi e poi negativi ( anche un mucchietto, non per forza uno solo) in modo da andare sopra e sotto e ogni volta più vicini a $5$.
Questo è quello che disse il professore a lezione, fece l'esempio con $0$ ma è lo stesso per qualunque numero reale.
Lo trovi anche su wikipedia, riordinamenti di riemann per serie https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Riemann-Dini
Non è, mi pare, che ci sia una sola permutazione, ma l'idea è quella, di prendere positivi e poi negativi ( anche un mucchietto, non per forza uno solo) in modo da andare sopra e sotto e ogni volta più vicini a $5$.
Questo è quello che disse il professore a lezione, fece l'esempio con $0$ ma è lo stesso per qualunque numero reale.
Lo trovi anche su wikipedia, riordinamenti di riemann per serie https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Riemann-Dini
Può essere che io mi sbagli, ma secondo me c'è un errore di notazione nella dimostrazione su wikipedia. Quando definisce $N_2$ come il più piccolo intero maggiore di $N_1$ tale che \(u_{\sigma(N_2)}\) e \(u_{\sigma(N_2+1)}\) siano di segno opposto per avere che
\[ \left | \alpha - \sum\limits_{k=0}^{N_2} u_{\sigma(k)} \right | \leq \left | u_{\sigma(N_2)} \right | \]
Dovrebbe definire $N_2$ come il più piccolo intero maggiore di $N_1$ tale che \(u_{\sigma(N_2)}\) e \(u_{\sigma(N_2)+1}\) siano di segno opposto.
Inoltre anche nell'induzione secondo me c'è il medesimo errore su $n$. Anche perché se
\[ 0 \leq \alpha - \sum\limits_{k=0}^{n} u_{\sigma(k)} \leq \varepsilon \]
Allora significa che \( 0 < u_{M+1} \leq \varepsilon \), dove \( M:= \max(\sigma(0), \ldots, \sigma(n) ) \) e non \( 0 \leq u_{\sigma(n+1)} \leq \varepsilon \)
Per come è definita la permutazione siccome qui siamo strettamente più piccoli di $\alpha$ abbiamo che il termine successivo all'ultimo che abbiamo sommato è positivo, non è detto ne che \( \sigma(n) \) sia l'ultimo termine ne tanto meno che \( \sigma(n+1) \) sia successivo a \( \sigma(n) \) e/o all'ultimo termine.
Io rinominerei la serie \( \sum\limits_k u_{\sigma(k)} \) con \( \sum\limits_k a_k \). In modo da averceli ordinati nel nuovo ordine dopo aver applicato la permutazione \( \sigma \) e applicherei il medesimo ragionamento della dimostrazione di wikipedia sull'indice della nuova successione ordinata \( (a_n)_{n \in \mathbb{N} } \).
Definendo $N_2$ come il più piccolo intero maggiore di \( \sigma(N_1) \) in modo tale $ a_{N_2}$ e $a_{N_2 +1} $ siano di segno opposto. Così l'induzione funziona e abbiamo che
\[ \left | \alpha - \sum\limits_{k=0}^{N_2} a_k \right | \leq \left | a_k \right | \leq \varepsilon \]
E pure l'induzione funziona.
Se
\[ 0 \leq \alpha - \sum\limits_{k=0}^{n} a_k \leq \varepsilon \]
Allora significa che \( 0 < a_{n+1} \leq \varepsilon \) e quindi
\[ 0 \leq \alpha - \sum\limits_{k=0}^{n+1} a_k \leq \varepsilon \]
Cosa ne pensate? Interpreto male la sua notazione?
\[ \left | \alpha - \sum\limits_{k=0}^{N_2} u_{\sigma(k)} \right | \leq \left | u_{\sigma(N_2)} \right | \]
Dovrebbe definire $N_2$ come il più piccolo intero maggiore di $N_1$ tale che \(u_{\sigma(N_2)}\) e \(u_{\sigma(N_2)+1}\) siano di segno opposto.
Inoltre anche nell'induzione secondo me c'è il medesimo errore su $n$. Anche perché se
\[ 0 \leq \alpha - \sum\limits_{k=0}^{n} u_{\sigma(k)} \leq \varepsilon \]
Allora significa che \( 0 < u_{M+1} \leq \varepsilon \), dove \( M:= \max(\sigma(0), \ldots, \sigma(n) ) \) e non \( 0 \leq u_{\sigma(n+1)} \leq \varepsilon \)
Per come è definita la permutazione siccome qui siamo strettamente più piccoli di $\alpha$ abbiamo che il termine successivo all'ultimo che abbiamo sommato è positivo, non è detto ne che \( \sigma(n) \) sia l'ultimo termine ne tanto meno che \( \sigma(n+1) \) sia successivo a \( \sigma(n) \) e/o all'ultimo termine.
Io rinominerei la serie \( \sum\limits_k u_{\sigma(k)} \) con \( \sum\limits_k a_k \). In modo da averceli ordinati nel nuovo ordine dopo aver applicato la permutazione \( \sigma \) e applicherei il medesimo ragionamento della dimostrazione di wikipedia sull'indice della nuova successione ordinata \( (a_n)_{n \in \mathbb{N} } \).
Definendo $N_2$ come il più piccolo intero maggiore di \( \sigma(N_1) \) in modo tale $ a_{N_2}$ e $a_{N_2 +1} $ siano di segno opposto. Così l'induzione funziona e abbiamo che
\[ \left | \alpha - \sum\limits_{k=0}^{N_2} a_k \right | \leq \left | a_k \right | \leq \varepsilon \]
E pure l'induzione funziona.
Se
\[ 0 \leq \alpha - \sum\limits_{k=0}^{n} a_k \leq \varepsilon \]
Allora significa che \( 0 < a_{n+1} \leq \varepsilon \) e quindi
\[ 0 \leq \alpha - \sum\limits_{k=0}^{n+1} a_k \leq \varepsilon \]
Cosa ne pensate? Interpreto male la sua notazione?
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