Serie armonica 1/n
Salve! Per quale motivo la serie armonica $f(x)=\sum_{n=1}^\infty\ 1/n$ diverge??? A me verrebbe da dire convergente... $\lim_{n \to \infty}1/n $ tende a zero!
Risposte
"MarioMario":
$\lim_{n \to \infty}1/n $ tende a zero!
Quella è una condizione necessaria, ma non sufficiente.
Hai ragione è una condizione necessaria ma non sufficiente, non tutte le successioni infinitesime sono convergenti. Ma allora come dimostrare la sua divergenza?
Puoi usare il criterio di condensazione di Cantor.
La divergenza di questa serie è in effetti a mio modesto avviso piuttosto controintuitiva. Se ti scrivi un programmino in C, potrai notare che il valore della serie supera il 16 solo dopo la somma di circa un milione e mezzo - non ricordo con precisione - di suoi termini. Pazzesco, vero?
Ma c'è di più: addirittura anche la serie \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot \log n} \) diverge.
Ma c'è di più: addirittura anche la serie \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot \log n} \) diverge.
Certo, ottima osservazione. Infatti la successione
\[\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}\]
ha crescita logaritmica ( http://it.wikipedia.org/wiki/Costante_d ... Mascheroni ), e il logaritmo ha questo caratteristico andamento di "costante che tende ad infinito" (nel senso che tende ad infinito così lentamente che ce ne dimentichiamo e ci sembra una costante).
\[\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}\]
ha crescita logaritmica ( http://it.wikipedia.org/wiki/Costante_d ... Mascheroni ), e il logaritmo ha questo caratteristico andamento di "costante che tende ad infinito" (nel senso che tende ad infinito così lentamente che ce ne dimentichiamo e ci sembra una costante).
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