Serie armonica

[andrea294]

Buongiorno,
stiamo vedendo le serie e in un passaggio il professore afferma che date due serie che vi metto in allegato sotto forma di immagine (non ho ancora capito come fare i pedici), la prima corrisponde a S(n+1) - 1. Ora ho effettivamente verificato che e' cosi' mettendo dei numeri a caso (per esempio con p = 1 ed n = 3) ma non capisco come arrivarci per via matematica. In sostanza come posso dimostrarlo?
Scusate se vi allego una foto ma ho avuta molta difficolta' a scrivere la formula con l'editor qui presente.
Grazie.

[Raptorista1]

Se nella prima serie fai un cambio di variabile per l'indice vedi subito che
\[
\sum_{k=1}^n \frac{1}{(k+1)^p} = \left\{
\begin{aligned}
j &= k+1 \\
k &= j-1 \\
\end{aligned}
\right\} = \sum_{??}^{??} \frac{1}{j^p} = \dots
\]

[andrea294]

Non capisco bene perche' introduci la variabile j. In questo modo si sta solo dicendo che $ k+1 = j $ e quindi che $ 1/(k+1) = 1/j $. Dove sbaglio? La mia variabile k vale lo stesso sia nella prima sia nella seconda serie.

[Raptorista1]

Vuoi ricondurti ad \(S\), quindi devi sommare $j^{-p}$ ($ =k^{-p}$ pur di cambiare nuovamente il nome dell'indice, che tanto è muto).
Il cambio di variabile serve per visualizzare chiaramente la traslazione dell'indice per recuperare la sommatoria che ti serve, è un trucco per rendere la vita più facile!

[andrea294]

Quello che non mi torna e' quel -1 nella scrittura S(n+1) -1. Come faccio a trasportare quel -1 da una serie ad un altra.
Ti chiedo scusa ma proprio non ci arrivo. Io e le serie non ci siamo mai molto amati. Grazie.

[Raptorista1]

Devi fare $+1-1$ per aggiustare gli indici della successione, che dopo il cambio di variabile parte da 2.

[andrea294]

Ma se dopo parte da 2 come mai nell' immagine allegata gli indici sono sempre uguali (k=1)?

[Raptorista1]

Parte da due dopo il cambio con j. Successivamente aggiungi il primo elemento e l'indice torna a partire da uno.

[andrea294]

Grazie tante. Riflettero' meglio su quanto hai scritto.