Serie armonica !

luigi_maddaluno
fra qualche giorno ho l'esame di analis 1 orale , volevo sapere com'è la dimostrazione della serie armonica , dato che la mia professoressa usa $ int_(1)^(n)1/x dx $ dicendo che $ int_(1)^(n)1/x dx $ $ < 1+1/2+1/3+.... 1/(n-2) $
Ha senso ? perche ? perche è minore ? che legame c'è ??

Risposte
_prime_number
Immagina di spezzare l'integrale così:
$\int_{0}^1 1/x dx + \int_{1}^2 1/x dx + ... \int_{n-1}^n 1/x dx$
La funzione $1/x$ è chiaramente monotona decrescente per ogni $x>0$ (vedi derivata). Prendiamo ad esempio, nella somma scritta da me sopra, un generico addendo: $\int_k^{k+1} 1/x dx$. Essendo la funzione integranda decrescente possiamo affermare che $1/x\leq 1/k$ per ogni $x$ nell'intervallo di integrazione considerato $[k,k+1]$. Quindi, per la monotonia dell'integrale:
$\int_k^{k+1} 1/x dx \leq \int_k^{k+1} 1/k dx = 1/k (k+1 -k)=1/k$.
Questo discorso vale per ogni addendo, quindi ecco che trovi quella somma (il cui ultimo termine però è , secondo me $1/(n-1)$).

Paola

luigi_maddaluno
perche dici che $ 1/x<1/k $ ? cos'è cambiato da $ 1/x $ e $ 1/k $ ??

_prime_number
Solo nell'intervallo $[k,k+1] $ in quanto la funzione è decrescente (quindi il valore massimo lo assumerà nell'estremo minimo dell'intervallo).

Paola

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