Serie ardua

[alberto861]

sia $\sum_{n=1}^{\infty} a_n n^{-s}$ con $a_n \in C$ e $s \in C$ è vero che se la serie converge per $s_0$ allora converge ASSOLUTAMENTE anche per ogni $s$ tale che $Re(s)> Re(s_0)+1$?

[Lord K]

Uhm... qui la situazione è un pochetto complicata... proviamo a esplicitare meglio le ipotesi, chiamiamo:

$zeta(s_0)=sum_(n=1)^oo a_n/n^s_0<+oo$

$Re(s)>Re(s_0)+1$

allora:

$sum_(n=1)^oo |a_n/n^s| <+oo$

ora ci devo pensare un pochetto...

[ViciousGoblin]

Se la prima serie converge il suo termine generale tende a zero: $a_n n^{-s_0}\to0$.
Allora preso un $s$ con $Re( s)>Re (s_0)+1$ si ha
$|a_n n^{-s}|= |a_n n^{-s_0}|n^{-(s-s_0)}| = |a_n n^{-s_0}|n^{-Re(s-s_0)}|\leq costante \frac{1}{n^a}$
con $a=Re(s-s_0)>1$. da cui ...

[alberto861]

ok..perfetto..provate con la serie che ho messo precedentemente..come aiuto il risultato è 1