Serie (analisi 1 politecnico Torino, Ingegneria Informatica)
Salve a tutti
spero che mi possiate aiutare
nell'esame che dovrei affrontare sabato c'è questo esercizio :
Data la serie $sum_(n=0)^(+oo)=(2^n/(3^n+2))$ ,
allora tale serie è :
1) una maggiorante della serie $sum_(n=0)^(+oo)=(2^n/(3^n))$
Vero, Falso, Perchè?
2) converge e la sua somma è maggiore di 3
Vero, Falso, Perchè?
3) se $a_n=(2^n/(3^n+2))$ allora $lim_(x->+oo)a_n = 2/3$
Vero, Falso, Perchè?
Vi sono molto grato per ogni aiuto !!!
sulle serie sono bloccatissimo!!!!!!
spero che mi possiate aiutare
nell'esame che dovrei affrontare sabato c'è questo esercizio :
Data la serie $sum_(n=0)^(+oo)=(2^n/(3^n+2))$ ,
allora tale serie è :
1) una maggiorante della serie $sum_(n=0)^(+oo)=(2^n/(3^n))$
Vero, Falso, Perchè?
2) converge e la sua somma è maggiore di 3
Vero, Falso, Perchè?
3) se $a_n=(2^n/(3^n+2))$ allora $lim_(x->+oo)a_n = 2/3$
Vero, Falso, Perchè?
Vi sono molto grato per ogni aiuto !!!
sulle serie sono bloccatissimo!!!!!!
Risposte
hai una qualche idea? inizia a postare una bozza di come procederesti e nell'eventualità che ci sia qualcosa di sbagliato interverremo.
"canotto":
nell'esame che dovrei affrontare sabato c'è questo esercizio :
Comodo sapere in anticipo quali esercizi ci sono nell'esame
volevo dire :
"quasi sicuramente ci sarà un esercizio di questo tipo"
non proprio questo in particolare che ho tratto da
un vecchio testo di esame (sono più o meno simili)
io procederei così (ma al 90% cicco)
essendo $sum_(n=0)^oo$
pensavo di fare il $lim_(n->oo)f(x)$ con $f(x)= 2^n/(3^n+2)$
vedere come si comporta
e dovrebbe diventare $oo/oo$, quindi diverge
"quasi sicuramente ci sarà un esercizio di questo tipo"
non proprio questo in particolare che ho tratto da
un vecchio testo di esame (sono più o meno simili)
io procederei così (ma al 90% cicco)
essendo $sum_(n=0)^oo$
pensavo di fare il $lim_(n->oo)f(x)$ con $f(x)= 2^n/(3^n+2)$
vedere come si comporta
e dovrebbe diventare $oo/oo$, quindi diverge
L'avevo capito stavo scherzando (magari ci fossero professori che danno i compiti del'esame una settimana prima... )
)
Comunque il fatto che venga $\frac{\infty}{\infty}$ non vuol dire che la serie diverga, infatti $\frac{\infty}{\infty}$ è forma indeterminata (in questo caso poi la serie converge).
"Tipper":
Comunque il fatto che venga $\frac{\infty}{\infty}$ non vuol dire che la serie diverga, infatti $\frac{\infty}{\infty}$ è forma indeterminata (in questo caso poi la serie converge).
cmq il fatto di fare il limite è giusto no?
posso applicare de l'hopital e viene
$lim_(n->oo) 2^n/(3^n+2) = lim_(n->oo)((2^nln2)/(3^nln3))$
poi però mi fermo ...
È giusto fare il limite: se infatti il limite viene diverso da zero la serie diverge sicuramente. Nel tuo caso ti conviene dividere al numeratore e al denominatore per $3^n$, così ottieni:
$\lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{(\frac{2}{3})^n}{1+\frac{2}{3^n}}$
se ora mandi $n$ all'infinito il tutto quanto fa?
$\lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{(\frac{2}{3})^n}{1+\frac{2}{3^n}}$
se ora mandi $n$ all'infinito il tutto quanto fa?
"Tipper":
È giusto fare il limite: se infatti il limite viene diverso da zero la serie diverge sicuramente. Nel tuo caso ti conviene dividere al numeratore e al denominatore per $3^n$, così ottieni:
$\lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{(\frac{2}{3})^n}{1+\frac{2}{3^n}}$
se ora mandi $n$ all'infinito il tutto quanto fa?
allora ...
sopra : $lim_(n->+oo)(2/3)^n = 0$
sotto : $lim_(n->+oo)1+2/3^n = 1+0 = 1$
quindi $0 / 1=0$
"canotto":
[quote="Tipper"]È giusto fare il limite: se infatti il limite viene diverso da zero la serie diverge sicuramente. Nel tuo caso ti conviene dividere al numeratore e al denominatore per $3^n$, così ottieni:
$\lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{(\frac{2}{3})^n}{1+\frac{2}{3^n}}$
se ora mandi $n$ all'infinito il tutto quanto fa?
allora ...
sopra : $lim_(n->+oo)(2/3)^n = 0$
sotto : $lim_(n->+oo)1+2/3^n = 1+0 = 1$
quindi $0 / 1=0$[/quote]
Esatto.
indi per cui quoto me stesso ::
Falso : è una minorante perchè $(2^n/(3^n+2))<(2^n/(3^n))$
Falso perchè converge e la sua somma è 0
(come abbiamo visto)
falso per lo stesso motivo della 2)
il limite tende a $0$ e non a $2/3$
quante ne ho sbagliate ???
sono abbastanza sicura sulla risposta 1 e sulla 2
ma non sulla 3
"canotto":
Data la serie $sum_(n=0)^(+oo)=(2^n/(3^n+2))$ ,
allora tale serie è :
1) una maggiorante della serie $sum_(n=0)^(+oo)=(2^n/(3^n))$
Vero, Falso, Perchè?
Falso : è una minorante perchè $(2^n/(3^n+2))<(2^n/(3^n))$
"canotto":
2) converge e la sua somma è maggiore di 3
Vero, Falso, Perchè?
Falso perchè converge e la sua somma è 0
(come abbiamo visto)
"canotto":
3) se $a_n=(2^n/(3^n+2))$ allora $lim_(x->+oo)a_n = 2/3$
Vero, Falso, Perchè?
falso per lo stesso motivo della 2)
il limite tende a $0$ e non a $2/3$
quante ne ho sbagliate ???
sono abbastanza sicura sulla risposta 1 e sulla 2
ma non sulla 3
"canotto":
indi per cui quoto me stesso ::
[quote="canotto"]
Data la serie $sum_(n=0)^(+oo)=(2^n/(3^n+2))$ ,
allora tale serie è :
1) una maggiorante della serie $sum_(n=0)^(+oo)=(2^n/(3^n))$
Vero, Falso, Perchè?
Falso : è una minorante perchè $(2^n/(3^n+2))<(2^n/(3^n))$
[/quote]
Giusto.
"canotto":
[quote="canotto"]
2) converge e la sua somma è maggiore di 3
Vero, Falso, Perchè?
Falso perchè converge e la sua somma è 0
(come abbiamo visto)
[/quote]
Sbagliato: non abbiamo visto che la somma converge a $0$, bensì abbiamo visto che il termine generale della serie, per $n \rightarrow \infty$ tende a zero.
La sommatorio $\sum_{n=0}^{+\infty}(\frac{2}{3})^n$ è una serie geometrica di ragione $\frac{2}{3}$, quindi converge a $3$, la serie del tuo esercizio, dato che è una minorante, convergerà sicuramente ad un numero minore o uguale a 3 (se ci pensi bene, come farebbe a convergere a zero?).
"canotto":
[quote="canotto"]
3) se $a_n=(2^n/(3^n+2))$ allora $lim_(x->+oo)a_n = 2/3$
Vero, Falso, Perchè?
il limite tende a $0$ e non a $2/3$
[/quote]
Giusto.
"Tipper":
[quote="canotto"][quote="canotto"]
2) converge e la sua somma è maggiore di 3
Vero, Falso, Perchè?
Falso perchè converge e la sua somma è 0
(come abbiamo visto)
[/quote]
Sbagliato: non abbiamo visto che la somma converge a $0$, bensì abbiamo visto che il termine generale della serie, per $n \rightarrow \infty$ tende a zero.
La sommatorio $\sum_{n=0}^{+\infty}(\frac{2}{3})^n$ è una serie geometrica di ragione $\frac{2}{3}$, quindi converge a $3$, la serie del tuo esercizio, dato che è una minorante, convergerà sicuramente ad un numero minore o uguale a 3 (se ci pensi bene, come farebbe a convergere a zero?).[/quote]
ok ho capito
essendo una serie grometrica di ragione $q=2/3$ per definizione se $q<1$ la serie converge a $S=(1/(1-q))$
nel nostro caso $S=(1/(1-2/3))=1/(1/3)=3$
giusto no??
Sì, giusto.
"Tipper":
Sì, giusto.
mitico!!!
Ti ringrazio moltissimo!!!!!!!!!!!!!!!!
Figurati 
"Tipper":
Figurati
il fatto è che sono iscritto al corso di laurea a distanza
e lavoro pure, quindi togliersi certi dubbi diventa
un problema ..
meno male che ho scoperto questo forum!!!
"canotto":
sono iscritto al corso di laurea a distanza
Sei un Nettuniano?
"Tipper":
[quote="canotto"]sono iscritto al corso di laurea a distanza
Sei un Nettuniano?[/quote]
sì
anche se lavorando è un gran casino!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo