SERIE analisi 1

[unicamente-marco]

Salve ragazzi non so come si faccia a risolvere questa serie, potreste darmi una mano ??
grazie in anticipo
\(\displaystyle \sum cos\left [ arcsin\left [ \frac{n}{n+1} \right ] \right ] \)

[Weierstress]

Potresti fare un piccolo sforzo e postare un tentativo..

[unicamente-marco]

"Weierstress":Potresti fare un piccolo sforzo e postare un tentativo..

l'unica cosa che mi è venuta in mente è di sostituire il cosx con sqrt(1-sin^2x) ma quello che ottengo è ancora piu complesso

[pilloeffe]

Ciao marek42,

La serie proposta è la seguente:

$sum_{n = 1}^{+\infty} cos[arcsin(\frac{n}{n+1})] $

La cosa più semplice mi pare quella di osservare che si ha:

$ sin[arccos(x)] = cos[arcsin(x)] = sqrt{1 - x^2} $

Essendo nel tuo caso $x := frac{n}{n+1} $, si ha:

$ cos[arcsin(frac{n}{n+1})] = sqrt{1 - (frac{n}{n+1})^2} = sqrt{frac{n^2 + 2n + 1 - n^2}{(n+1)^2}} = sqrt{frac{2n + 1}{(n+1)^2}} $

Per confronto si deduce che la serie proposta è divergente.

[unicamente-marco]

"pilloeffe":Ciao marek42,

La serie proposta è la seguente:

$sum_{n = 1}^{+\infty} cos[arcsin(\frac{n}{n+1})] $

La cosa più semplice mi pare quella di osservare che si ha:

$ sin[arccos(x)] = cos[arcsin(x)] = sqrt{1 - x^2} $

Essendo nel tuo caso $x := frac{n}{n+1} $, si ha:

$ cos[arcsin(frac{n}{n+1})] = sqrt{1 - (frac{n}{n+1})^2} = sqrt{frac{n^2 + 2n + 1 - n^2}{(n+1)^2}} = sqrt{frac{2n + 1}{(n+1)^2}} $

Per confronto si deduce che la serie proposta è divergente.

Ciao pilloeffe grazie mille per l'aiuto non ne sapevo nemmeno l'esistenza di quella relazione. grazie ancora

[pilloeffe]

"marek42":Ciao pilloeffe grazie mille per l'aiuto

Prego

"marek42":non ne sapevo nemmeno l'esistenza di quella relazione.

Mi sembra strano, ma potrebbe anche essere che tu le abbia viste nella forma equivalente seguente:

$arccos(x) = arcsin sqrt{1 - x^2} $

$arcsin(x) = arccos sqrt{1 - x^2} $

Puoi trovarne qualche altra utile ad esempio qui:
http://mathworld.wolfram.com/InverseTrigonometricFunctions.html