Serie aleatoria
definiti $R(n)$ una funzione che resituisce un numero random nell'intervallo tra 0 e 1, con distribuzione uniforme e $[x]$ la parte intera di $x$, cosa si può dire della serie:
$\sum_n(-1)^{[R(n)+1/2]}/n$
$\sum_n(-1)^{[R(n)+1/2]}/n$
Risposte
Che non è ben definita.
Supponi che ti esca $1/3$: è un po' difficile sapere quanto fa $(-1)^(5/6)$ (a meno di non muoversi nei complessi)...
Supponi che ti esca $1/3$: è un po' difficile sapere quanto fa $(-1)^(5/6)$ (a meno di non muoversi nei complessi)...
?
Se esce 1/3 l'esponente diventa $[1/3+1/2]=0$
Se esce 1/3 l'esponente diventa $[1/3+1/2]=0$
Ah, le parentesi indicano la parte intera... Non avevo capito. 
Ok. chiarito questo.....
Sappiamo che $R(n)$ è distribuita uniformemente in $[0,1]$
quindi $E[R(n)] = 1/2$.
La media della variabile aleatoria $X = sum_n (-1)^[[R(n) + 1/2]]/n$ è quindi per Beppo Levi
$E[X] = \sum_n 1/n E[(-1)^[[R(n) + 1/2]]] = 0$
poiché $E[(-1)^[[R(n) + 1/2]]] = 1 * P[ R(n) < 1/2] - 1*P[ R(n) \ge 1/2] = 0$.
E questo è strano perché pensavo all'inizio che $X$ assumesse il valore $\sum_n (-1)^n/n = \ln 2$ quasi certamente.
Ci penso su.
quindi $E[R(n)] = 1/2$.
La media della variabile aleatoria $X = sum_n (-1)^[[R(n) + 1/2]]/n$ è quindi per Beppo Levi
$E[X] = \sum_n 1/n E[(-1)^[[R(n) + 1/2]]] = 0$
poiché $E[(-1)^[[R(n) + 1/2]]] = 1 * P[ R(n) < 1/2] - 1*P[ R(n) \ge 1/2] = 0$.
E questo è strano perché pensavo all'inizio che $X$ assumesse il valore $\sum_n (-1)^n/n = \ln 2$ quasi certamente.
Ci penso su.
inizerei con l'osservare che $P(R(n)>=1/2)=P(R(n)<1/2)=1/2$, da cui deduciamo che $P((-)^{[R(n)+1/2]}=1)=P((-)^{[R(n)+1/2]}=-1)=1/2
possiamo studiare la serie analoga $sum_{n=1}^{+oo}xi_n/n$ con $P(xi_n=1)=P(xi_n=-1)=1/2$ che è la serie armonica con i termini a segno casuale.
(quindi ha senso la media calcolata da pat87)
Questa converge $P-qc$ ad un $alpha\in RR$.
Concodate?
possiamo studiare la serie analoga $sum_{n=1}^{+oo}xi_n/n$ con $P(xi_n=1)=P(xi_n=-1)=1/2$ che è la serie armonica con i termini a segno casuale.
(quindi ha senso la media calcolata da pat87)
Questa converge $P-qc$ ad un $alpha\in RR$.
Concodate?
A parte che ho cannato, non posso usare Beppo Levi in quanto il sommando non è sempre positivo, e quindi nemmeno la convergenza monotona. La convergenza dominata neppure perché
$(-1)^[[R(n) + 1/2]]/n \le 1/n$ con $E[ sum_n 1/n] = \infty$ e quindi non in $L^1$.
@fu^2:
L'idea mi piace, ma non so se è così diretto affermare che possiamo studiare soltanto il comportamento di tale serie, visto che né la convergenza dominata né quella monotona funzionano.
Anche io ho ipotizzato che converge $P-qc$ alla serie $\sum_n (-1)^n/n = ln 2$, ma non ho proprio idea di come fare.
non posso usare Beppo Levi in quanto il sommando non è sempre positivo, e quindi nemmeno la convergenza monotona. La convergenza dominata neppure perché $(-1)^[[R(n) + 1/2]]/n \le 1/n$ con $E[ sum_n 1/n] = \infty$ e quindi non in $L^1$.
@fu^2:
L'idea mi piace, ma non so se è così diretto affermare che possiamo studiare soltanto il comportamento di tale serie, visto che né la convergenza dominata né quella monotona funzionano.
Anche io ho ipotizzato che converge $P-qc$ alla serie $\sum_n (-1)^n/n = ln 2$, ma non ho proprio idea di come fare.
no, non possiamo affermare che converge $P-qc$ a $ln2$ ma ad un $alpha$ generico, ma comunque reale.
Il fatto che possiamo studiare quella serie non è implicato dal teorema di Lebesgue, ma semplicemente dai valori assunti da $R(n)$.
Sulla media effettivamente avevo letto velocemente
anche perchè il fatto che metà esano con segno + e metà con segno - non implica che faccia zero
Il fatto che possiamo studiare quella serie non è implicato dal teorema di Lebesgue, ma semplicemente dai valori assunti da $R(n)$.
Sulla media effettivamente avevo letto velocemente
anche perchè il fatto che metà esano con segno + e metà con segno - non implica che faccia zero
"fu^2":
no, non possiamo affermare che converge $P-qc$ a $ln2$ ma ad un $alpha$ generico, ma comunque reale.
Non mi è chiara questa cosa...
questo risultato della convergenza P quasi certa della serie armonica con segno casuale discende direttamente dal teorema delle tre serie di Kolmogorov
Mai sentito. Oddio eppure ho fatto un corso di probabilità e di processi stocastici. Interessante comunque. Ma in che corso hai fatto questo teorema?
nel corso di probabilità di quest'anno è stato esattamente l'ultimo teorema che abbiamo fatto prima della fine del corso. Quindi è fresco, risale a circa 3 settimane fa
se per caso hai occasione di averlo puoi trovarlo a pag.386 del libro Probability, di shiryaev.
se per caso hai occasione di averlo puoi trovarlo a pag.386 del libro Probability, di shiryaev.
Grazie mille. 
Allora visto che adesso sappiamo di per certo che la data serie converge P-qc verso una costante, possiamo ipotizzare che sia $ln 2$, no? Solo che a questo punto bisogna far vedere che
$P[ X \ne ln 2] = 0$,
che non saprei come fare.
Allora visto che adesso sappiamo di per certo che la data serie converge P-qc verso una costante, possiamo ipotizzare che sia $ln 2$, no? Solo che a questo punto bisogna far vedere che
$P[ X \ne ln 2] = 0$,
che non saprei come fare.
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