Serie al variare del parametro

[kevinferl1998]

Ciao!
Devo stabilire, al variare del parametro $x$, il carattere della serie e in caso di convergenza calcolarne la somma.
La serie data è:
$\sum_{n=1}^∞ (1-2x)^n$

Questo è il procedimento che ho effettuato per risolvere l'esercizio.
Se $x=0$ la serie è:
$\sum_{n=1}^∞ (1)^n$
essendo una serie geometrica ed essendo la ragione $=1$ la serie diverge positivamente.

Se $x<0$ la ragione delle serie geometrica diventa $>1$ e quindi diverge positivamente.

Mentre se $x>0$ si verificano due casi:
se $0 mentre se $x>0$ la ragione della serie geometrica è $<=-1$ e la serie è irregolare.

E' corretto il mio svolgimento oppure ho fatto qualche errore?

[marco2132k]

Non è una geometrica di ragione \( q := 1 - 2x \)? Allora si comporterà come una geometrica con ragione \( q = 1 - 2x \)

[pilloeffe]

Ciao kevin_ferl,

"kevin_ferl": [...] essendo una serie geometrica [...]

Sì, attenzione però che la serie geometrica di solito parte da $n = 0$, però vedo che non sei caduto nella trappola perché hai scritto correttamente la somma per $|1 - 2x| < 1 \iff 0 < x < 1 $, anche se magari la sistemerei un po':

$ \sum_{n=1}^{+\infty} (1-2x)^n = 1/(1 - (1 - 2x)) - 1 = 1/(2x) - 1 = (1 - 2x)/(2x) = S(x) $

per $x \in (0, 1) $

"kevin_ferl":E' corretto il mio svolgimento oppure ho fatto qualche errore?

Hai fatto un errore qui:

"kevin_ferl":mentre se $x>0$ la ragione della serie geometrica è $ <= −1 $ e la serie è irregolare.

Immagino intendessi scrivere se $x > 1 $ ...

[kevinferl1998]

"pilloeffe":
Immagino intendessi scrivere se $x > 1 $ ...

Si, ho sbagliato a scrivere. Comunque grazie mille