Serie al variare dei parametri
Buongiorno,
Esercizio preso da un esame di Analisi 1
$ sum_(n = \1) |(cos(1/n))^(n^alpha )-l| $
Termini positi, ok ci sta il modulo
per la condizione necessario invece inizio a calcolare il limite
$ lim_(x -> oo ) |(cos(1/n))^(n^alpha )-l| $
Sviluppo il coseno $ lim_(x -> oo ) |(1-1/(2n^2))^(n^alpha )-l| $
Allora io ho pensato una cosa malata posso fare il limite notevole e vederlo cosi con l=1 ?
$ lim_(x -> oo ) |(1+(-1/(2n^2)))^(n^alpha )-1| $
Allora mi viene cosi, $ lim_(x -> oo) -1/(2n^2)n^alpha $
Sinceramente ho tutti i dubbi del mondo, e non credo di aver fatto giusto.
In questo post vi chiedo, Se ho sbagliato quali blasfemie matematiche ho messo alla luce, e ovviamente una possibile idea di soluzione.
Vi ringrazio in anticipo
Esercizio preso da un esame di Analisi 1
$ sum_(n = \1) |(cos(1/n))^(n^alpha )-l| $
Termini positi, ok ci sta il modulo
per la condizione necessario invece inizio a calcolare il limite
$ lim_(x -> oo ) |(cos(1/n))^(n^alpha )-l| $
Sviluppo il coseno $ lim_(x -> oo ) |(1-1/(2n^2))^(n^alpha )-l| $
Allora io ho pensato una cosa malata posso fare il limite notevole e vederlo cosi con l=1 ?
$ lim_(x -> oo ) |(1+(-1/(2n^2)))^(n^alpha )-1| $
Allora mi viene cosi, $ lim_(x -> oo) -1/(2n^2)n^alpha $
Sinceramente ho tutti i dubbi del mondo, e non credo di aver fatto giusto.
In questo post vi chiedo, Se ho sbagliato quali blasfemie matematiche ho messo alla luce, e ovviamente una possibile idea di soluzione.
Vi ringrazio in anticipo
Risposte
Quando usi gli sviluppi di Taylor ricordati di portarti appresso gli o-piccoli, altrimenti rischi di perderti dei pezzi nel percorso.
Ok, quindi l'unica cosa errata è questa ?
Credo che l'idea di porre $l=1$ sia giusta visto che "assomiglia" a un limite notevole, però dovresti giustificare meglio l'ultimo passaggio. Cosa hai fatto precisamente?
Niente di speciale ho usato questo limite notevole
$ lim_(x -> 0) ((1+x)^alpha -1)/x=alpha $
ma ho un dubbio che questa cosa funzione perche alpha nel limite notevole appartiere ad R invece li io ho una variabile che tende a $ oo $
$ lim_(x -> 0) ((1+x)^alpha -1)/x=alpha $
ma ho un dubbio che questa cosa funzione perche alpha nel limite notevole appartiere ad R invece li io ho una variabile che tende a $ oo $
Infatti andrebbe giustificato quel passaggio. Proviamo a vedere che succede:
$$e^{\log \bigg(1 - \frac{1}{2n^2} + o\bigg(\frac{1}{n^2} \bigg) \bigg)^{n^{\alpha}}} = e^{n^{\alpha} \log \bigg(1 - \frac{1}{2n^2} + o\bigg(\frac{1}{n^2} \bigg) \bigg)} = e^{ n^{\alpha} \bigg(-\frac{1}{2n^2} + o\bigg(\frac{1}{n^2} \bigg) \bigg)}$$
Allora per $\alpha < 2$ abbiamo che $$a_n \sim 1 - \frac{1}{2n^{2-\alpha}} -l \to 1-l$$
Perciò, condizione necessaria è che $l=1$, come avevi intuito.
Per $\alpha \geq 2$, abbiamo che $$e^{ n^{\alpha} \bigg(-\frac{1}{2n^2} + o\bigg(\frac{1}{n^2} \bigg) \bigg)} = e^{ n^{\alpha-2} \bigg(-\frac{1}{2} + n^2 o\bigg(\frac{1}{n^2} \bigg) \bigg)}$$
Perciò, $$a_n = e^{ n^{\alpha-2} \bigg(-\frac{1}{2} + n^2 o\bigg(\frac{1}{n^2} \bigg) \bigg)} - l \to \begin{cases} -l, & \alpha > 2 \\ e^{-\frac{1}{2}} - l, & \alpha = 2 \end{cases}$$
e come vedi, a te sarebbe venuto un risultato diverso[nota]Il motivo è che nel primo caso $$e^{- \frac{1}{2n^{2-\alpha}} + o \bigg( \frac{1}{n^{2-\alpha}} \bigg)}= 1 - \frac{1}{2n^{2-\alpha}} + o \bigg( \frac{1}{n^{2-\alpha}} \bigg) \sim 1 - \frac{1}{2n^{2-\alpha}} $$ perché il termine $\frac{1}{n^{2-\alpha}}$ è infinitesimo in questo caso e perciò puoi approssimare l'esponenziale in un intorno di $0$.[/nota]. Da questo ricavi le ovvie condizioni necessarie.
Ora prova a applicare ragionamenti simili per confrontare il termine generico con i casi notevoli
$$e^{\log \bigg(1 - \frac{1}{2n^2} + o\bigg(\frac{1}{n^2} \bigg) \bigg)^{n^{\alpha}}} = e^{n^{\alpha} \log \bigg(1 - \frac{1}{2n^2} + o\bigg(\frac{1}{n^2} \bigg) \bigg)} = e^{ n^{\alpha} \bigg(-\frac{1}{2n^2} + o\bigg(\frac{1}{n^2} \bigg) \bigg)}$$
Allora per $\alpha < 2$ abbiamo che $$a_n \sim 1 - \frac{1}{2n^{2-\alpha}} -l \to 1-l$$
Perciò, condizione necessaria è che $l=1$, come avevi intuito.
Per $\alpha \geq 2$, abbiamo che $$e^{ n^{\alpha} \bigg(-\frac{1}{2n^2} + o\bigg(\frac{1}{n^2} \bigg) \bigg)} = e^{ n^{\alpha-2} \bigg(-\frac{1}{2} + n^2 o\bigg(\frac{1}{n^2} \bigg) \bigg)}$$
Perciò, $$a_n = e^{ n^{\alpha-2} \bigg(-\frac{1}{2} + n^2 o\bigg(\frac{1}{n^2} \bigg) \bigg)} - l \to \begin{cases} -l, & \alpha > 2 \\ e^{-\frac{1}{2}} - l, & \alpha = 2 \end{cases}$$
e come vedi, a te sarebbe venuto un risultato diverso[nota]Il motivo è che nel primo caso $$e^{- \frac{1}{2n^{2-\alpha}} + o \bigg( \frac{1}{n^{2-\alpha}} \bigg)}= 1 - \frac{1}{2n^{2-\alpha}} + o \bigg( \frac{1}{n^{2-\alpha}} \bigg) \sim 1 - \frac{1}{2n^{2-\alpha}} $$ perché il termine $\frac{1}{n^{2-\alpha}}$ è infinitesimo in questo caso e perciò puoi approssimare l'esponenziale in un intorno di $0$.[/nota]. Da questo ricavi le ovvie condizioni necessarie.
Ora prova a applicare ragionamenti simili per confrontare il termine generico con i casi notevoli
veramente molto grazie, non traslascerò piu gli o piccoli pensando che sono inutili in certi casi e invece di inventarmi stranezze mi muoverò in quel modo, per paura di allungare ho fatto casini. Bene continuo a essere sempre piu entusiasta di questo forum.
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