Serie a termini positivi e di segno alterno
Ciao a tutti!
Sto studiando e facendo esercizi riguardo le serie ma ho alcuni dubbi e su alcuni esercizi mi blocco.
Intanto vi spiego come procedo solitamente: guardo se la serie è di segno positivo oppure di segno alterno; se è di segno positivo decido se usare il criterio del confronto, del confronto asintotico, della radice, del rapporto oppure se posso ricondurla ad una serie geometrica. Se è di segno alterno guardo se converge assolutamente e semplicemente con il criterio di Leibniz.
I miei problemi sono:
- capire se una serie è a termini positivi oppure a termini a segno alterno. Finchè la serie è del tipo $\sum_{n=1}^(+\infty) (-1)^n (root(n)(e) -1)$ si capisce che è di segno alterno ma se non è in questa forma come lo capisco? Perchè mettermi a sostituire valori generici alla $n$ mi sembra assurdo e soprattutto non "sicuro".
In questo caso $\sum_{n=1}^(+\infty) (sqrt(n) cos(n\pi))/(n^3+4)$ = $\sum_{n=1}^(+\infty) (-1)^n (sqrt(n))/(n^3+4)$ non mi sarebbe mai venuto in mente che quelle due espressioni sono uguali (anche perché non ho proprio capito come fanno ad esserlo).
- a volte trovo serie che partono da 0,1,2,... cioè $\sum_{n=0}^(\+infty) a_n$, $\sum_{n=1}^(\+infty) a_n$, $\sum_{n=2}^(\+infty) a_n$, $\sum_{n=3}^(\+infty) a_n$, ...
ma nella teoria che ho studiato io trovo solo serie che partono da 0. Come mi devo comportare? E' uguale?
- $\sum_{n=1}^(+\infty) (-1)^(n+1) 1/log(n)$ cosa cambia avere $n+1$ ed $n$? Io l'ho svolta come se ci fosse stato $n$, ho sbagliato?
Non sono riuscita a svolgere diverse serie, non voglio che me le svolgiate voi, chiedo solo una dritta se è possibile:
1) $\sum_{n=1}^(+\infty) (-1)^n (root(n)(e) -1)$
2) $\sum_{n=1}^(+\infty) (4+cos(n)-sen(n))/n^3$
3) $\sum_{n=1}^(+\infty) (e^(1/n^3)-1)$
4) $\sum_{n=1}^(+\infty) (n^2 sen(1/n))/(n^3+1)$
5) $\sum_{n=1}^(+\infty) (-1)^n arctg(1/(n+2n^3))$
6) $\sum_{n=1}^(+\infty) (n^2 cos(1/n))/(n^3+1)$
7) $\sum_{n=1}^(+\infty) (root(n)(e^(1+n^2)))$
8) $\sum_{n=1}^(+\infty) (root(n)(e^(1-n^2)))$
9) $\sum_{n=1}^(+\infty) (1-cos(1/3n^2))n^2$
10) $\sum_{n=1}^(+\infty) (1/n^2 - log(1+1/n))$
So che sono tante ma vi giuro che sono poche in confronto a tutte quelle che ho fatto in questi giorni -.-
Grazie infinite
Sto studiando e facendo esercizi riguardo le serie ma ho alcuni dubbi e su alcuni esercizi mi blocco.
Intanto vi spiego come procedo solitamente: guardo se la serie è di segno positivo oppure di segno alterno; se è di segno positivo decido se usare il criterio del confronto, del confronto asintotico, della radice, del rapporto oppure se posso ricondurla ad una serie geometrica. Se è di segno alterno guardo se converge assolutamente e semplicemente con il criterio di Leibniz.
I miei problemi sono:
- capire se una serie è a termini positivi oppure a termini a segno alterno. Finchè la serie è del tipo $\sum_{n=1}^(+\infty) (-1)^n (root(n)(e) -1)$ si capisce che è di segno alterno ma se non è in questa forma come lo capisco? Perchè mettermi a sostituire valori generici alla $n$ mi sembra assurdo e soprattutto non "sicuro".
In questo caso $\sum_{n=1}^(+\infty) (sqrt(n) cos(n\pi))/(n^3+4)$ = $\sum_{n=1}^(+\infty) (-1)^n (sqrt(n))/(n^3+4)$ non mi sarebbe mai venuto in mente che quelle due espressioni sono uguali (anche perché non ho proprio capito come fanno ad esserlo).
- a volte trovo serie che partono da 0,1,2,... cioè $\sum_{n=0}^(\+infty) a_n$, $\sum_{n=1}^(\+infty) a_n$, $\sum_{n=2}^(\+infty) a_n$, $\sum_{n=3}^(\+infty) a_n$, ...
ma nella teoria che ho studiato io trovo solo serie che partono da 0. Come mi devo comportare? E' uguale?
- $\sum_{n=1}^(+\infty) (-1)^(n+1) 1/log(n)$ cosa cambia avere $n+1$ ed $n$? Io l'ho svolta come se ci fosse stato $n$, ho sbagliato?
Non sono riuscita a svolgere diverse serie, non voglio che me le svolgiate voi, chiedo solo una dritta se è possibile:
1) $\sum_{n=1}^(+\infty) (-1)^n (root(n)(e) -1)$
2) $\sum_{n=1}^(+\infty) (4+cos(n)-sen(n))/n^3$
3) $\sum_{n=1}^(+\infty) (e^(1/n^3)-1)$
4) $\sum_{n=1}^(+\infty) (n^2 sen(1/n))/(n^3+1)$
5) $\sum_{n=1}^(+\infty) (-1)^n arctg(1/(n+2n^3))$
6) $\sum_{n=1}^(+\infty) (n^2 cos(1/n))/(n^3+1)$
7) $\sum_{n=1}^(+\infty) (root(n)(e^(1+n^2)))$
8) $\sum_{n=1}^(+\infty) (root(n)(e^(1-n^2)))$
9) $\sum_{n=1}^(+\infty) (1-cos(1/3n^2))n^2$
10) $\sum_{n=1}^(+\infty) (1/n^2 - log(1+1/n))$
So che sono tante ma vi giuro che sono poche in confronto a tutte quelle che ho fatto in questi giorni -.-
Grazie infinite
Risposte
4) $\sin(y) = y + o(y)$ per $y -> 0$.
2) Criterio del confronto. Seno e coseno hanno una maggiorazione evidente.
3) $e^y - 1 = y + o(y)$ per $y -> 0$.
6) Nota che $cos(1/n)$ non dà contributo all'ordine di infinitesimo del termine generale. Minoralo con $cos(1)$.
2) Criterio del confronto. Seno e coseno hanno una maggiorazione evidente.
3) $e^y - 1 = y + o(y)$ per $y -> 0$.
6) Nota che $cos(1/n)$ non dà contributo all'ordine di infinitesimo del termine generale. Minoralo con $cos(1)$.
1), 5) Criterio di Leibniz.
9) Il massimo limite del termine generale dovrebbe essere infinito e, poiché trattasi di una serie a termini positivi, questa diverge (in effetti è violata la condizione necessaria per la convergenza, cioè che il termine generale sia infinitesimo).
9) Il massimo limite del termine generale dovrebbe essere infinito e, poiché trattasi di una serie a termini positivi, questa diverge (in effetti è violata la condizione necessaria per la convergenza, cioè che il termine generale sia infinitesimo).
"Seneca":
4) $\sin(y) = y + o(y)$ per $y -> 0$.
2) Criterio del confronto. Seno e coseno hanno una maggiorazione evidente.
3) $e^y - 1 = y + o(y)$ per $y -> 0$.
6) Nota che $cos(1/n)$ non dà contributo all'ordine di infinitesimo del termine generale. Minoralo con $cos(1)$.
Grazie per la risposta! Però non ho capito..
Maggiorazione cosa vuol dire?
"vfldj":
Maggiorazione cosa vuol dire?
$4 + cos(n) - sin(n) > 0$ quindi la serie è a termini positivi.
Inoltre $4 + cos(n) - sin(n) < 10$ (abbondiamo...)
allora $\sum 10/n^3$ è una serie il cui termine generale maggiora il termine generale della serie da cui sei partita. Per il teorema del confronto, convergendo $\sum 10/n^3$, converge anche l'altra.
"Seneca":
[quote="vfldj"]Maggiorazione cosa vuol dire?
$4 + cos(n) - sin(n) > 0$ quindi la serie è a termini positivi.
Inoltre $4 + cos(n) - sin(n) < 10$ (abbondiamo...)
allora $\sum 10/n^3$ è una serie il cui termine generale maggiora il termine generale della serie da cui sei partita. Per il teorema del confronto, convergendo $\sum 10/n^3$, converge anche l'altra.[/quote]
come fai a dire $4 + cos(n) - sin(n) > 0$?
Perché $cos(n) >= - 1$ e $- sin(n) >= - 1$ , quindi $4 + cos(n) - sin(n) >= 4 - 2 = 2$ che è una limitazione inferiore per quel numeratore.
7) Calcola $lim_(n -> +oo) exp[( 1 + n^2)/n]$
8) $exp( 1/n - n ) = exp(1/n) * (1/e)^n$ ...
10) $sum 1/n^2 - sum log( 1 + 1/n)$ (per la seconda serie ricorda, p.es. , il limite notevole con il logaritmo)
E finalmente sono finite...
Controlla se i suggerimenti ti sembrano sensati (te li ho dati senza prendere carta e matita). Se non ti è chiaro qualcosa, chiedi...
8) $exp( 1/n - n ) = exp(1/n) * (1/e)^n$ ...
10) $sum 1/n^2 - sum log( 1 + 1/n)$ (per la seconda serie ricorda, p.es. , il limite notevole con il logaritmo)
E finalmente sono finite...
Controlla se i suggerimenti ti sembrano sensati (te li ho dati senza prendere carta e matita). Se non ti è chiaro qualcosa, chiedi...
"Seneca":
7) Calcola $lim_(n -> +oo) exp[( 1 + n^2)/n]$
8) $exp( 1/n - n ) = exp(1/n) * (1/e)^n$ ...
10) $sum 1/n^2 - sum log( 1 + 1/n)$ (per la seconda serie ricorda, p.es. , il limite notevole con il logaritmo)
E finalmente sono finite...
Controlla se i suggerimenti ti sembrano sensati (te li ho dati senza prendere carta e matita). Se non ti è chiaro qualcosa, chiedi...
$exp $ cosa sarebbe?
Un altro modo per indicare l'esponenziale... Anziché scrivere $e^x$ si può scrivere $exp(x)$.
ah ok, non lo sapevo..grazie 
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