Serie a termini positivi: criterio del rapporto
Salve e BUON ANNO a tutti!
Stabilire il carattere della seguente serie:
$f(x)=\sum_{n=1}^\infty\(n!n^3)/(n^n)$
applicando il criterio del rapporto ho:
$(An+1)/(An)=[((n+1)!(n+1)^3)/(n+1)^(n+1)](n^n)/(n!n^3)$
Come proseguire?? inoltre non so come comportarmi con quel fattoriale. Un aiutino? Grazie
Stabilire il carattere della seguente serie:
$f(x)=\sum_{n=1}^\infty\(n!n^3)/(n^n)$
applicando il criterio del rapporto ho:
$(An+1)/(An)=[((n+1)!(n+1)^3)/(n+1)^(n+1)](n^n)/(n!n^3)$
Come proseguire?? inoltre non so come comportarmi con quel fattoriale. Un aiutino? Grazie
Risposte
Ciao,ed auguri pure a te!
Per quel che riguarda il tuo primo problema del 2012,perchè non provi a notare che
$(n+1)!$$=1*2*.......*(n-1)*n*(n+1)=[1*2*.....*(n-1)*n]*(n+1)=cdots$,
e poi realizzi le dovute semplificazioni?
Saluti dal web.
Per quel che riguarda il tuo primo problema del 2012,perchè non provi a notare che
$(n+1)!$$=1*2*.......*(n-1)*n*(n+1)=[1*2*.....*(n-1)*n]*(n+1)=cdots$,
e poi realizzi le dovute semplificazioni?
Saluti dal web.
Si ha: \[\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{(n+1)! (n+1)^{3}}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^{n}}{n! n^{3}}=\frac{(n+1)n! (n+1)^{3}}{(n+1)^{n} (n+1)}\cdot \frac{n^{n}}{n! n^{3}}=\left ( \frac{n+1}{n} \right)^{3} \cdot \left (\frac{n}{n+1} \right)^{n} \]
da cui \[\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left [ \left (1+ \frac{1}{n} \right)^{3} \cdot \left (1-\frac{1}{n+1} \right)^{n} \right ] =\frac{1}{e}<1 \]
da cui \[\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left [ \left (1+ \frac{1}{n} \right)^{3} \cdot \left (1-\frac{1}{n+1} \right)^{n} \right ] =\frac{1}{e}<1 \]
Vi ringrazio ora mi è più chiaro, però Delirium perdonami non capisco come si è giunti da $(n/(n+1))^n$ alla forma nota $(1-1/(n+1))^n$ che è uguale a $1/e$.
Bhé, o fai la divisione tra polinomi, o ti accorgi immediatamente che \(\displaystyle \left (1 - \frac{1}{n+1} \right)^{n} = \left (\frac{n+1-1}{n+1} \right)^{n}=\left ( \frac{n}{n+1} \right)^{n} \).
Un'osservazione:
Quella non è "una forma nota che è uguale a \(\displaystyle \frac{1}{e} \)", quanto una successione che converge ad un valore finito (in questo caso un reale) al tendere di \(\displaystyle n \) all'infinito. Nella fattispecie trattasi della successione tramite cui si definisce l'esponenziale (caso \(\displaystyle z=-1 \)) - o meglio, non proprio lei, ma la differenza è trascurabile se \(\displaystyle n \to \infty \).
Un'osservazione:
"MarioMario":
Vi ringrazio ora mi è più chiaro, però Delirium perdonami non capisco come si è giunti da $(n/(n+1))^n$ alla forma nota $(1-1/(n+1))^n$ che è uguale a $1/e$.
Quella non è "una forma nota che è uguale a \(\displaystyle \frac{1}{e} \)", quanto una successione che converge ad un valore finito (in questo caso un reale) al tendere di \(\displaystyle n \) all'infinito. Nella fattispecie trattasi della successione tramite cui si definisce l'esponenziale (caso \(\displaystyle z=-1 \)) - o meglio, non proprio lei, ma la differenza è trascurabile se \(\displaystyle n \to \infty \).
"MarioMario":
Vi ringrazio ora mi è più chiaro, però Delirium perdonami non capisco come si è giunti da $(n/(n+1))^n$ alla forma nota $(1-1/(n+1))^n$ che è uguale a $1/e$.
Oppure (rispetto a ciò che ti ha già detto Delirium) noti che
$(n/(n+1))^n=1/({n+1}/n)^n=1/(1+1/n)^n$ che tende (NON E' EGUALE ...) a $1/e$
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