Serie a termini positivi
Salve a tutti, ho riscontrato una difficoltà a determinare il carattere della seguente serie:
$\sum_{n=1}^ ∞ (5+n^3)/(3^n+n^2*2^n) $
Ho notato che è una serie a termini positivi, ed ho pensato di determinare il carattere utilizzando il criterio della radice, solo che non riesco a risolvere il limite che si viene a creare
$lim_(n->∞)root(n)((5+n^3)/(3^n+n^2*2^n))$
Avete qualche suggerimento su come procedere per calcolare il limite?
Grazie mille
$\sum_{n=1}^ ∞ (5+n^3)/(3^n+n^2*2^n) $
Ho notato che è una serie a termini positivi, ed ho pensato di determinare il carattere utilizzando il criterio della radice, solo che non riesco a risolvere il limite che si viene a creare
$lim_(n->∞)root(n)((5+n^3)/(3^n+n^2*2^n))$
Avete qualche suggerimento su come procedere per calcolare il limite?
Grazie mille
Risposte
Ciao! Raccogli i termini "dominanti" a numeratore e denominatore, ossia quelli che tendono a $\infty$ "più velocemente".
Quindi essendo $n^3$ il termine dominante al numeratore ed $n^2*2^n$ il termine dominante al denominatore dovrei ottenere
$lim_(n->∞)root(n)((n^3(5/n^3+1))/(n^2*2^n(3^n/(n^2*2^n)+1))$
semplificare $n^3$ al numeratore con $n^2$ al denominatore ed ottenere
$lim_(n->∞)root(n)((n(5/n^3+1))/(2^n(3^n/(n^2*2^n)+1))$
$5/n^3$ al tendere di $n->∞$ tende a $0$
ed anche $3^n/(n^2*2^n)$ tende a $0$ (?)
Dovrei procedere in questo in questo modo?
Scusa in anticipo se ho scritto una sciocchezza
$lim_(n->∞)root(n)((n^3(5/n^3+1))/(n^2*2^n(3^n/(n^2*2^n)+1))$
semplificare $n^3$ al numeratore con $n^2$ al denominatore ed ottenere
$lim_(n->∞)root(n)((n(5/n^3+1))/(2^n(3^n/(n^2*2^n)+1))$
$5/n^3$ al tendere di $n->∞$ tende a $0$
ed anche $3^n/(n^2*2^n)$ tende a $0$ (?)
Dovrei procedere in questo in questo modo?
Scusa in anticipo se ho scritto una sciocchezza
Non devi scusarti di nulla! Comunque, il termine dominante a numeratore è effettivamente $n^3$, tuttavia il termine dominante a denominatore è $3^n$. Per stabilirlo, puoi studiare il limite del rapporto tra i due addendi a denominatore
$$\lim_{n \to \infty} \frac{3^n}{n^2 2^n}$$
E renderti conto che quest'ultimo limite è $\infty$, quindi $3^n$ domina su $n^2 2^n$ quando $n$ diventa arbitrariamente grande.
Da quello che scrivi vedo che hai un po' di dubbi sul calcolo dei limiti in generale, è un po' inopportuno studiare le serie se hai questi dubbi; il motivo per cui è $\lim_{n\to \infty} \frac{3^n}{n^2 2^n}=\infty$ è che si dimostra, per ogni $c>1$ fissato e per ogni $k \in \mathbb{R}$ fissato, che risulta
$$\lim_{n \to \infty} \frac{c^n}{n^k}=\infty$$
Quindi, scrivendo $\frac{3^n}{n^2 2^n}=\frac{\left(\frac{3}{2}\right)^n}{n^2}$, si ricade nel limite suddetto con $c=\frac{3}{2}>1$ e $k=2$.
Comunque, forse il criterio del rapporto qui funziona meglio. Ma, anche usando il criterio del rapporto, devi saper calcolare questi limiti di successioni, altrimenti avrai sempre problemi con le serie.
$$\lim_{n \to \infty} \frac{3^n}{n^2 2^n}$$
E renderti conto che quest'ultimo limite è $\infty$, quindi $3^n$ domina su $n^2 2^n$ quando $n$ diventa arbitrariamente grande.
Da quello che scrivi vedo che hai un po' di dubbi sul calcolo dei limiti in generale, è un po' inopportuno studiare le serie se hai questi dubbi; il motivo per cui è $\lim_{n\to \infty} \frac{3^n}{n^2 2^n}=\infty$ è che si dimostra, per ogni $c>1$ fissato e per ogni $k \in \mathbb{R}$ fissato, che risulta
$$\lim_{n \to \infty} \frac{c^n}{n^k}=\infty$$
Quindi, scrivendo $\frac{3^n}{n^2 2^n}=\frac{\left(\frac{3}{2}\right)^n}{n^2}$, si ricade nel limite suddetto con $c=\frac{3}{2}>1$ e $k=2$.
Comunque, forse il criterio del rapporto qui funziona meglio. Ma, anche usando il criterio del rapporto, devi saper calcolare questi limiti di successioni, altrimenti avrai sempre problemi con le serie.
Si, purtroppo ho ancora (molti) dubbi riguardo il calcolo dei limiti.
Comunque ti ringrazio per l'aiuto
Comunque ti ringrazio per l'aiuto
Prego! Per qualsiasi dubbio sui limiti, puoi chiedere qui aprendo altre discussioni.
Comunque, concludendo l'esercizio: raccogliendo i termini dominanti, si ha
$$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{n^3\left(1+\frac{5}{n^3}\right)}{3^n \left(1+\frac{n^2 2^n}{3^n}\right)}} = \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt[n]{n^3}\cdot \sqrt[n]{\left(1+\frac{5}{n^3}\right)}}{\sqrt[n]{3^n} \cdot \sqrt[n]{\left(1+\frac{n^2 2^n}{3^n}\right)}}= \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt[n]{n^3}\cdot \sqrt[n]{\left(1+\frac{5}{n^3}\right)}}{3 \cdot \sqrt[n]{\left(1+\frac{n^2 2^n}{3^n}\right)}}$$
Anche qui vale un risultato generale come nella risposta precedente: per ogni $k \in \mathbb{R}$ fissato, risulta
$$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n^k}=1$$
E gli altri termini con la radice $n$-esima tendono a $1$ in quanto la radice $n$-esima puoi scriverla come esponente $\frac{1}{n}$, che tende a $0$ quando $n\to\infty$.
Perciò
$$\lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt[n]{n^3}\cdot \sqrt[n]{\left(1+\frac{5}{n^3}\right)}}{3 \cdot \sqrt[n]{\left(1+\frac{n^2 2^n}{3^n}\right)}}=\frac{1 \cdot 1^0}{3 \cdot 1^0}=\frac{1}{3}$$
Essendo $\frac{1}{3}<1$, per il criterio della radice la serie converge (assolutamente, essendo a termini positivi).
Con il criterio del rapporto è un po' meglio perché aggiri il fatto di dover calcolare $\lim_{n \to \infty} \root[n]{n^3}$, se disgraziatamente non lo sai calcolare.
Come vedi, è essenziale conoscere profondamente i limiti di base o non se ne esce.
Comunque, concludendo l'esercizio: raccogliendo i termini dominanti, si ha
$$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{n^3\left(1+\frac{5}{n^3}\right)}{3^n \left(1+\frac{n^2 2^n}{3^n}\right)}} = \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt[n]{n^3}\cdot \sqrt[n]{\left(1+\frac{5}{n^3}\right)}}{\sqrt[n]{3^n} \cdot \sqrt[n]{\left(1+\frac{n^2 2^n}{3^n}\right)}}= \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt[n]{n^3}\cdot \sqrt[n]{\left(1+\frac{5}{n^3}\right)}}{3 \cdot \sqrt[n]{\left(1+\frac{n^2 2^n}{3^n}\right)}}$$
Anche qui vale un risultato generale come nella risposta precedente: per ogni $k \in \mathbb{R}$ fissato, risulta
$$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n^k}=1$$
E gli altri termini con la radice $n$-esima tendono a $1$ in quanto la radice $n$-esima puoi scriverla come esponente $\frac{1}{n}$, che tende a $0$ quando $n\to\infty$.
Perciò
$$\lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt[n]{n^3}\cdot \sqrt[n]{\left(1+\frac{5}{n^3}\right)}}{3 \cdot \sqrt[n]{\left(1+\frac{n^2 2^n}{3^n}\right)}}=\frac{1 \cdot 1^0}{3 \cdot 1^0}=\frac{1}{3}$$
Essendo $\frac{1}{3}<1$, per il criterio della radice la serie converge (assolutamente, essendo a termini positivi).
Con il criterio del rapporto è un po' meglio perché aggiri il fatto di dover calcolare $\lim_{n \to \infty} \root[n]{n^3}$, se disgraziatamente non lo sai calcolare.
Come vedi, è essenziale conoscere profondamente i limiti di base o non se ne esce.
Va bene, grazie mille per lo svolgimento del limite 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo