Serie a termini negativi?
Data la seguente serie:
$sum_{n=1}^oo (1-n!)/n^n$
Queste serie è a termini negativi. Esatto?Nel caso di una serie a termini negativi che criteri si applicano?
$sum_{n=1}^oo (1-n!)/n^n$
Queste serie è a termini negativi. Esatto?Nel caso di una serie a termini negativi che criteri si applicano?
Risposte
Io ti consiglierei di vederla in questa maniera:
$\sum_(n=1)^\infty1/n^n-\sum_(n=1)^\infty(n!)/n^n$
e studiarle separatamente. Per la seconda utilizza l'approssimazione di Stirling.
$\sum_(n=1)^\infty1/n^n-\sum_(n=1)^\infty(n!)/n^n$
e studiarle separatamente. Per la seconda utilizza l'approssimazione di Stirling.
La strada suggerita è corretta ma a posteriori, in quanto le due serie scritte convergono entrambe, e quindi la serie della differenza è la differenza delle serie, cosa non vera in generale.
Puoi tenerti la serie iniziale cambiandole il segno e diventa a termini positivi...
Puoi tenerti la serie iniziale cambiandole il segno e diventa a termini positivi...
"K.Lomax":
Io ti consiglierei di vederla in questa maniera:
$\sum_(n=1)^\infty1/n^n-\sum_(n=1)^\infty(n!)/n^n$
e studiarle separatamente. Per la seconda utilizza l'approssimazione di Stirling.
Sono uno studente di analisi 1. il nostro prof non ci ha parlato dell'approsimazione di stirling.cosa sarebbe? E poi non conviene di più usare il criterio del rapporto per la seconda?
"Luca.Lussardi":
La strada suggerita è corretta ma a posteriori, in quanto le due serie scritte convergono entrambe, e quindi la serie della differenza è la differenza delle serie, cosa non vera in generale.
Puoi tenerti la serie iniziale cambiandole il segno e diventa a termini positivi...
la serie cambiando il segno diventa così:
$-sum_{n=1}^oo (-1+n!)/n^n$ quindi mi conviene studiare questa serie. esatto?
la serie considerandola sotto questo punto di vista:
$sum_{n=1}^oo 1/n^n - sum_{n=1}^oo (n!)/n^n$
la prima converge e per provarlo si può ricorrere al criterio della radice. La seconda converge anche ricorrendo invece al criterio del rapporto.Così la serie data in partenza converge. Esatto?
$sum_{n=1}^oo 1/n^n - sum_{n=1}^oo (n!)/n^n$
la prima converge e per provarlo si può ricorrere al criterio della radice. La seconda converge anche ricorrendo invece al criterio del rapporto.Così la serie data in partenza converge. Esatto?
Se non ricordo male $n!$ si comporta come $sqrt(2 * pi * n) * (n/e)^n$ .
Guarda qui:
http://it.wikipedia.org/wiki/Approssima ... i_Stirling
Guarda qui:
http://it.wikipedia.org/wiki/Approssima ... i_Stirling
@mazzy
All'università, per studiare bene, bisogna andare anche oltre ciò che, in un tempo limitato, viene spiegato dai professori. Alcuni di loro, a volte, volutamente, forniscono solo l'incipit, il resto sta allo studente. E' un consiglio che vale in generale.
All'università, per studiare bene, bisogna andare anche oltre ciò che, in un tempo limitato, viene spiegato dai professori. Alcuni di loro, a volte, volutamente, forniscono solo l'incipit, il resto sta allo studente. E' un consiglio che vale in generale.
"K.Lomax":
@mazzy
All'università, per studiare bene, bisogna andare anche oltre ciò che, in un tempo limitato, viene spiegato dai professori. Alcuni di loro, a volte, volutamente, forniscono solo l'incipit, il resto sta allo studente. E' un consiglio che vale in generale.
Saggie parole.Vere al 100%.Ma a che serve applicare un metodo se esiste un'altra strada più piana e sicuramente molto più sicura?
Puoi scegliere il metodo che vuoi, purchè sia corretto; ma conoscere una cosa in più non fa male. Nell'utilizzare il metodo più facile potrei esser d'accordo, ma più "sicuro" non ha senso....o è corretto o non è corretto.
Il problema è che io non consiglierei ad uno studente troppo acerbo di spezzare le due serie quando si può fare tenendo una sola serie. In questo esercizio lo svolgimento è corretto anche spezzando nella differenza delle serie ma uno studente che non ha ancora senso critico potrebbe far fatica a capire che è un procedimento corretto a posteriori.
"Luca.Lussardi":
Il problema è che io non consiglierei ad uno studente troppo acerbo di spezzare le due serie quando si può fare tenendo una sola serie. In questo esercizio lo svolgimento è corretto anche spezzando nella differenza delle serie ma uno studente che non ha ancora senso critico potrebbe far fatica a capire che è un procedimento corretto a posteriori.
Be si. diciamo che alla fine oltre alla mia consapevolezza e senso critico conta MOLTO quella del prof di consapevolezza.Immaginatevi un compito in cui è datao da risolvere una funzione integrale,un integrale,una serie e il problema di Cauchy in due ore. Dopo che ho raggiunto la mia consapevolezza nello spezzare la serie (e prima la devo raggungere) ovviamente questa consapevolezza la devo infondere anche nel prof e quindi dargli una spiegazione scritta.La situazione si complica un tantino in un evento del genere specialmente per me che sono uno studente di analisi 1 alle prime armi
Appunto per questo che è meglio che lavori sulla serie intera.
"Luca.Lussardi":
Appunto per questo che è meglio che lavori sulla serie intera.
Si si infatti io sono d'accordissimo con te. Hai perfettamente ragione.
Allora, seguendo tutti i suggerimenti lo svolgimento corretto dovrebbe essere:
$sum_{n=1}^oo (1-n!)/n^n$ raccolgo un $-1$e la faccio diventare a termini positivi, $-sum_{n=1}^oo (n!-1)/n^n$, poi studio $sum_{n=1}^oo (n!-1)/n^n$
Utilizzando l'approssimazione di stirling $n!$ $~~$ $sqrt(2 \pi n)(n/e)^n$, il termine generale della serie si riduce a:
$a_n= (sqrt(2 \pi n) - e^n/n^n)/e^n$. Considerando che $\lim_{n \to \infty}e^n/n^n$$=\lim_{n \to \infty}e^n/e^(nlogn)$$=\lim_{n \to \infty}e^n(1-logn)$$=1/e^(-infty)=0$ si può approssimare $a_n$ senza questa frazione, che per $n \to \infty$ tende a zero, così come tende a zero tutto $a_n$ soddisfacendo la C.N. per la convergenza.
Applicando il criterio della radice risulta:
$root(n)(a_n)$ $~~$ $((sqrt(2 \pi n))/e^n)^(1/n)$ $= (2 \pi n )^(1/(2n))/e$$=e^(log(2 \pi n)/(2n)-1) \to 1/e <1$ converge
$sum_{n=1}^oo (1-n!)/n^n$ raccolgo un $-1$e la faccio diventare a termini positivi, $-sum_{n=1}^oo (n!-1)/n^n$, poi studio $sum_{n=1}^oo (n!-1)/n^n$
Utilizzando l'approssimazione di stirling $n!$ $~~$ $sqrt(2 \pi n)(n/e)^n$, il termine generale della serie si riduce a:
$a_n= (sqrt(2 \pi n) - e^n/n^n)/e^n$. Considerando che $\lim_{n \to \infty}e^n/n^n$$=\lim_{n \to \infty}e^n/e^(nlogn)$$=\lim_{n \to \infty}e^n(1-logn)$$=1/e^(-infty)=0$ si può approssimare $a_n$ senza questa frazione, che per $n \to \infty$ tende a zero, così come tende a zero tutto $a_n$ soddisfacendo la C.N. per la convergenza.
Applicando il criterio della radice risulta:
$root(n)(a_n)$ $~~$ $((sqrt(2 \pi n))/e^n)^(1/n)$ $= (2 \pi n )^(1/(2n))/e$$=e^(log(2 \pi n)/(2n)-1) \to 1/e <1$ converge
"Marco512":
Allora, seguendo tutti i suggerimenti lo svolgimento corretto dovrebbe essere:
$sum_{n=1}^oo (1-n!)/n^n$ raccolgo un $-1$e la faccio diventare a termini positivi, $-sum_{n=1}^oo (n!-1)/n^n$, poi studio $sum_{n=1}^oo (n!-1)/n^n$
Utilizzando l'approssimazione di stirling $n!$ $~~$ $sqrt(2 \pi n)(n/e)^n$, il termine generale della serie si riduce a:
$a_n= (sqrt(2 \pi n) - e^n/n^n)/e^n$. Considerando che $\lim_{n \to \infty}e^n/n^n$$=\lim_{n \to \infty}e^n/e^(nlogn)$$=\lim_{n \to \infty}e^n(1-logn)$$=1/e^(-infty)=0$ si può approssimare $a_n$ senza questa frazione, che per $n \to \infty$ tende a zero, così come tende a zero tutto $a_n$ soddisfacendo la C.N. per la convergenza.
Applicando il criterio della radice risulta:
$root(n)(a_n)$ $~~$ $((sqrt(2 \pi n))/e^n)^(1/n)$ $= (2 \pi n )^(1/(2n))/e$$=e^(log(2 \pi n)/(2n)-1) \to 1/e <1$ converge
Ti ringrazio tantissimo per la tua sintensi delle informazioni raccolte sul topic e sull'aver applicato un metodo per me nuovo. Ti ringrazio per l'aiuto
Non è necessario Stirling (per altro non è una cosa facile da ricordare e nota a tutti). Basta osservare che $n!-1$ è asintotico a $n!$ e usare il criterio del rapporto sulla serie di termine generale $(n!)/n^n$.
Luca.Lussardi:
Non è necessario Stirling (per altro non è una cosa facile da ricordare e nota a tutti). Basta osservare che $n!-1$ è asintotico a $n!$ e usare il criterio del rapporto sulla serie di termine generale $(n!)/n^n$.
Non ci avevo proprio pensato! Così è molto più semplice e meno laborioso. Grazie.
@mazzy89, prego, ci mancherebbe.
Sì, per altro c'è qualcosa che non va in quanto fatto da te: hai usato un confronto asintotico su una differenza, cosa proibita (in generale). Detto in altre parole se $a_n$ è asintotico a $b_n$ non è detto che $a_n-1$ sia asintotico a $b_n-1$.
Avevo fatto il ragionamento che $a_n$ tendeva a zero indipendentemente dalla presenza di $e^n/n^n$. In caso contrario avrei dovuto spezzare in due la serie e applicare separatamente il criterio di convergenza (della radice). Avrei ottenuto una differenza di due serie, tutte e due convergenti. E' così?
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