Serie a termini alterni
$sum_(n=1)^(oo)(-1)^n(logn)$
La serie è a segni alterni ma $a_n=1/logn$ non nè infinitesima nè decrescente quindi non posso applicare il criterio di Leibniz
Il fatto che non possa applicare il criterio di Leibniz non implica che la serie non converge....come procedo?
grazie mille!
La serie è a segni alterni ma $a_n=1/logn$ non nè infinitesima nè decrescente quindi non posso applicare il criterio di Leibniz
Il fatto che non possa applicare il criterio di Leibniz non implica che la serie non converge....come procedo?
grazie mille!
Risposte
Mi sembra ovvio: i termini della serie ti sembrano infintesimi (criterio di Cauchy)? 
La serie data nell’esempio è assai interessante… Con semplici passaggi di trova che…
$sum_(n=1)^(oo) (-1)^n*ln n= sum_(n=1)^(oo) ln ((2n)/(2n-1))=sum_(n=1)^(oo) ln (1+1/(2n-1))$ (1)
Pertanto, a dispetto del fatto che a qualcuno sembri ‘cosa ovvia’ il contrario, il termine generale della serie tende a $0$ per $n->oo$. Passando per lo sviluppo del logaritmo…
$ln(1+ 1/(2n-1))= 1/(2n-1)-1/3*1/(2n-1)^2+...+(-1)^k/k*1/(2n-1)^k+...$ (2)
... si perviene alla formula…
$sum_(n=1)^(oo) ln(1-1/(2n-1))= sum_(n=1)^(oo) 1/(2n-1)-1/2*sum_(n=1)^(oo) 1/(2n-1)^2+…+(-1)^k/k*sum_(n=1)^(oo) 1/(2n-1)^k+…$ (3)
La serie è composta due da due termini. Il primo termine è una serie divergente. Il secondo è a sua volta una serie a termini alternati che per il criterio di Leibnitz è convergente. Pertanto la serie (1) è divergente…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$sum_(n=1)^(oo) (-1)^n*ln n= sum_(n=1)^(oo) ln ((2n)/(2n-1))=sum_(n=1)^(oo) ln (1+1/(2n-1))$ (1)
Pertanto, a dispetto del fatto che a qualcuno sembri ‘cosa ovvia’ il contrario, il termine generale della serie tende a $0$ per $n->oo$. Passando per lo sviluppo del logaritmo…
$ln(1+ 1/(2n-1))= 1/(2n-1)-1/3*1/(2n-1)^2+...+(-1)^k/k*1/(2n-1)^k+...$ (2)
... si perviene alla formula…
$sum_(n=1)^(oo) ln(1-1/(2n-1))= sum_(n=1)^(oo) 1/(2n-1)-1/2*sum_(n=1)^(oo) 1/(2n-1)^2+…+(-1)^k/k*sum_(n=1)^(oo) 1/(2n-1)^k+…$ (3)
La serie è composta due da due termini. Il primo termine è una serie divergente. Il secondo è a sua volta una serie a termini alternati che per il criterio di Leibnitz è convergente. Pertanto la serie (1) è divergente…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Anzitutto va precisato che la serie data all'inizio ha termine generale che non ammette limite, quindi non e' infinitesimo: per $n$ pari tende a $+\infty$ e per $n$ dispari tende a $-\infty$. Da cio' ne segue che la serie data non converge.
Inoltre ad intuito la serie data mi sembrerebbe oscillante, non divergente come e' la conclusione di lupo grigio. Per altro la (1) di lupo grigio e' stata ottenuta con un ragionamento pericoloso che e' fonte di tanti paradossi: per trovare la prima uguaglianza della (1) credo che lupo grigio abbia usato la proprieta' associativa, raggruppando a due a due i termini della serie. Tale proprieta' puo' essere usata solo se la serie converge: la celeberrima serie di termine $(-1)^n$ verrebbe convergente a $0$ se uno usasse la proprieta' associativa. Dunque tutto cio' che ne segue non e' corretto, ed invero la serie dovrebbe venire oscillante, dimostrazione permettendo.
Inoltre ad intuito la serie data mi sembrerebbe oscillante, non divergente come e' la conclusione di lupo grigio. Per altro la (1) di lupo grigio e' stata ottenuta con un ragionamento pericoloso che e' fonte di tanti paradossi: per trovare la prima uguaglianza della (1) credo che lupo grigio abbia usato la proprieta' associativa, raggruppando a due a due i termini della serie. Tale proprieta' puo' essere usata solo se la serie converge: la celeberrima serie di termine $(-1)^n$ verrebbe convergente a $0$ se uno usasse la proprieta' associativa. Dunque tutto cio' che ne segue non e' corretto, ed invero la serie dovrebbe venire oscillante, dimostrazione permettendo.
"lupo grigio":
$sum_(n=1)^(oo) (-1)^n*ln n= sum_(n=1)^(oo) ln ((2n)/(2n-1))
Come è possibile?
Cioè vorrebbe dire che $(-1)^n \ log n \ = \ log \ ((2n)/(2n-1))$, $forall n=1,2,...$?
Così, ad esempio, per $n=1$, $0 \ = \ log 2$ !
Forse sono io che non ho capito...
"lupo grigio":
Pertanto, a dispetto del fatto che a qualcuno sembri ‘cosa ovvia’ il contrario
Spero che in questa risposta non ci sia alcun rancore per l'altro topic: se è così, mi dispiace esserti sembrato polemico nei tuoi confronti, se non è così tanto meglio...
Sul fatto che è ovvio che $a_n=(-1)^n logn$ per l'usuale definizione di limite non converge non siamo tutti d'accordo? $a_(2n)$ va a $+oo$, mentre $a_(2n+1)$ va a $-oo$ e quindi, essendo una successione che ha due sottosuccessioni che hanno limite diverso, non può convergere a 0.
Non e' un'uguaglianza $n$ per $n$ ma la ottieni raggruppando a due a due gli addendi e usando le proprieta' dei logaritmi. Rimane il fatto che non puoi usare la proprieta' associativa se prima non dimostri che la serie converge, per cui quell'uguaglianza e' falsa.
Ah, già! Scusate, ho capito!
E' interessante la dimostrazione che la serie data oscilla. Sia $S_k=\sum_(n=1)^k (-1)^n logn$; allora si ha $S_(2k)=\sum_(n=1)^k log((2n)/(2n-1))=\sum_(n=1)^k -log(1-1/(2n))$ che da' origina ad una serie a termini positivi positivamente divergente in quanto confrontabile con la serie di termine $1/(2n)$. D'altro canto si ha $S_(2k+1)=\sum_(n=1)^k log((2n)/(2n+1))=\sum_(n=1)^k-log(1+1/(2n))$ che da' origine ad una serie a termini negativi divergente, sempre per confronto con l'armonica. Ne segue che $S_k$ ha due estratte con limiti distinti e quindi la serie data oscilla.
Scrivendola anche così $\log(\prod_{m=1}^\infty (2m)/(2m-1))$, si vede che l'argomento diverge, quindi anche l'intera somma..
Come lo dimostri che quel prodotto infinito diverge?
non basta notare che il fattore generico è maggiore di 1?
e comunque, nello scrivere il prodotto, non si è presupposta di nuovo una commutatività nella serie che non è garantita?
e comunque, nello scrivere il prodotto, non si è presupposta di nuovo una commutatività nella serie che non è garantita?
Si può osservare che $\prod_{k=1}^\infty (1+a_k)$ converge sse $\sum_{k=1}^\infty a_k$ converge. Ma nel caso in cui $a_k=1/(2m-1)$, abbiamo che diverge.
Ok; per Nebula: potrebbe sembrare così, ma non lo eè, se tu vai a vedere il post in cui dimostro che la serie oscilla io uso proprietà associativa solo su somme finite.
non è la stessa cosa?
magari mi sbaglio, ma il limite delle somme finite non può dipendere da come le costruisci?
nel senso, se hai la successione $a_n in R, h_n in N$ e $k_n in N$ ($h$ e $k$ "iniettive"), in generale non risultano diversi $lim_i sum_{n=0}^i a_{h_n}$ e $lim_i sum_{n=0}^i a_{k_n}?
magari mi sbaglio, ma il limite delle somme finite non può dipendere da come le costruisci?
nel senso, se hai la successione $a_n in R, h_n in N$ e $k_n in N$ ($h$ e $k$ "iniettive"), in generale non risultano diversi $lim_i sum_{n=0}^i a_{h_n}$ e $lim_i sum_{n=0}^i a_{k_n}?
Attenzione, stai facendo confusione: io non ho estratto dal termine generale, ma dalla successione delle somme parziali. Nel mio post ho estratto dalla successione $S_k$, che è la somma arrestata al termine $k$.
ok
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