Serie a termine di segno alterno

[blob84]

Ciao la serie:
\(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty (-1)^k\frac{2^{k-1}}{5^k} \);
Dal criterio di Leibniz:
il limite della successione è $0$.
Però ho dei problemi a verificare che sia monotona decrescente.
Se è decrescente vuol dire che \(\displaystyle \frac{2^{k}}{5^{k+1}}<\frac{2^{k-1}}{5^k} \)
se è così non lo è, ma non ho capito dove è che sbaglio.

[Seneca1]

"blob84":Ciao la serie:
\(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty (-1)^k\frac{2^{k-1}}{5^k} \);
Dal criterio di Leibniz:
il limite della successione è $0$.
Però ho dei problemi a verificare che sia monotona decrescente.
Se è decrescente vuol dire che \(\displaystyle \frac{2^{k}}{5^{k+1}}<\frac{2^{k-1}}{5^k} \)
se è così non lo è, ma non ho capito dove è che sbaglio.

$2^k * 5^k < 2^(k - 1) * 5^(k+1)$

$2^k * 5^k = 10^k < 5/2 * 2^(k) * 5^(k) = 5/2 * 10^k$ , che è vera $AA k in NN$. Quindi il termine generale è una successione monotona strettamente decrescente.

[Rigel1]

Detto ciò, io studierei prima la convergenza assoluta.

[Gi81]

Facendo la sostituzione $h=k-1$ ottieni
$sum_(k=1)^(+oo) (-1)^k * (2^(k-1))/(5^k)= sum_(h=0)^(+oo) (-1)^(h+1) * (2^(h))/(5^(h+1))=1/5 *sum_(h=0)^(+oo) (-1)^(h+1) * (2/5)^h$

[Flaviuz1]

Basta raccogliere un $5$ al primo denominatore e un $1/2$ al secondo numeratore, così si ha:
$2^k / (5*5^k) < 2^k / (2*5^k)$, ovvero: $1/5<1/2$ che è sempre vero.