Serie a terimni positivi (con parametro $\alpha$)
Salve ragazzi devo descrivere il carattere al variare di $\alpha$ il carattere della serie il cui termine generale è :
$n^(n^\alpha)/(n!)$
$n^(n^\alpha)/(n!)$
Risposte
Da regolamento devi postare prima un tuo ragionamento e qualcuno ti aiuterà sicuramente
io ho provato ad utilizzare il criterio della radice :
$lim_(x->infty)root(n)(n^(n^\alpha)/root(n)(n!)$
da cui ottengo
$lim_(x->infty)n^(n^(\alpha-1))/(root(n)(n!))$
e da qui non riesco più a proseguire.
Qualcuno può suggerirmi un modo?
$lim_(x->infty)root(n)(n^(n^\alpha)/root(n)(n!)$
da cui ottengo
$lim_(x->infty)n^(n^(\alpha-1))/(root(n)(n!))$
e da qui non riesco più a proseguire.
Qualcuno può suggerirmi un modo?
I passaggi sono giusti o devo usare un altro criterio?? 
Beh io ti consiglierei più di usare il metodo del rapporto
utilizzando il criterio del rapporto ottengo :
$lim_(n->infty)((n+1)^((n+1)^\alpha-1))/((n^n)^(\alpha))$
come si procede?
$lim_(n->infty)((n+1)^((n+1)^\alpha-1))/((n^n)^(\alpha))$
come si procede?
Dovrebbe essere così prova a guardarti la teoria comunque :
$lim n -> oo [((n^n)^(alpha))/(n!) ] * [(n+1!) / [((n+1)^(n+1))^(alpha)]]$ poi vai avanti ciao
$lim n -> oo [((n^n)^(alpha))/(n!) ] * [(n+1!) / [((n+1)^(n+1))^(alpha)]]$ poi vai avanti ciao
[mod="gugo82"]@Josephine: Dopo 47 post dovresti ben sapere che non è consentito scrivere post in maiuscolo (cfr. regolamento, 3.5).
Perciò ti chiedo di modificare i tuoi post precedenti.[/mod]
Perciò ti chiedo di modificare i tuoi post precedenti.[/mod]
Mi scuso per il precedente post in carattere maiuscolo, l'ho corretto.
Ho notato che avevo commesso un errore anche nello scrivere il risultato che ottenevo e ho corretto anche quello.
Con il ragionamento che ha fatto "fra89" io non mi trovo :
Ci sono due cose con le quali non concordo :
La prima è che scrivere $(n^n)^\alpha$ dalla proprietà dell potenze corrisponde a scrivere $n^(\alpha*n)$ e non $n^(n^\alpha)$che credo sia un risultato molto differente. Giusto ?
Seconda cosa io so dalla teoria che per il criterio del rapporto si deve considerare il $lim_(n->infty)(a_(n+1)/a_n)$ e quello che ha fatto "fra89" mi sembra viceversa , chi ha ragione?
Comunque ora vi posto i passaggi che ho fatto applicando il criterio del confronto così come lo conosco io :
$lim_(n->infty)((n+1)^((n+1)^\alpha)/((n+1)!))*(n!)/n^(n^\alpha)$
da cui semplificando $n!$ con $(n+1)!$ in modo da eliminare il fattoriale, e utilizzando la proprietà delle potenze con base uguale (cioè svolgendo la divisione $(n+1)^((n+1)^\alpha)/(n+1)$)
ottengo : $lim_(n->infty)(n+1)^((n+1)^\alpha-1)/n^(n^\alpha)$ .
Dove sbaglio ? e come posso continuare ?
Ho notato che avevo commesso un errore anche nello scrivere il risultato che ottenevo e ho corretto anche quello.
Con il ragionamento che ha fatto "fra89" io non mi trovo :
"fra89":
Dovrebbe essere così prova a guardarti la teoria comunque :
$lim n -> oo [((n^n)^(alpha))/(n!) ] * [(n+1!) / [((n+1)^(n+1))^(alpha)]]$ poi vai avanti ciao
Ci sono due cose con le quali non concordo :
La prima è che scrivere $(n^n)^\alpha$ dalla proprietà dell potenze corrisponde a scrivere $n^(\alpha*n)$ e non $n^(n^\alpha)$che credo sia un risultato molto differente. Giusto ?
Seconda cosa io so dalla teoria che per il criterio del rapporto si deve considerare il $lim_(n->infty)(a_(n+1)/a_n)$ e quello che ha fatto "fra89" mi sembra viceversa , chi ha ragione?
Comunque ora vi posto i passaggi che ho fatto applicando il criterio del confronto così come lo conosco io :
$lim_(n->infty)((n+1)^((n+1)^\alpha)/((n+1)!))*(n!)/n^(n^\alpha)$
da cui semplificando $n!$ con $(n+1)!$ in modo da eliminare il fattoriale, e utilizzando la proprietà delle potenze con base uguale (cioè svolgendo la divisione $(n+1)^((n+1)^\alpha)/(n+1)$)
ottengo : $lim_(n->infty)(n+1)^((n+1)^\alpha-1)/n^(n^\alpha)$ .
Dove sbaglio ? e come posso continuare ?
Se $\alpha \le 0$ si vede subito che la serie converge (per confronto).
Per quanto riguarda il caso $\alpha > 0$, ti conviene distinguere i tre sottocasi
1) $0<\alpha <1$
2) $\alpha = 1$
3) $\alpha > 1$.
Nel caso 2) vedi subito che il termine generale è $>1$, quindi non può tendere a $0$.
Essendo la serie a termini positivi, divergerà a $+\infty$.
Il caso 3) lo tratti per confronto con il caso 2).
Rimane solo il caso $0<\alpha<1$.
Applicando il criterio del rapporto come hai già fatto, puoi passare in notazione esponenziale, ottenendo
$\exp[((n+1)^{\alpha}-1)\log(n+1) - n^{\alpha}\log n]$.
L'argomento dell'exp può essere scritto come
$[...] = (n^{\alpha}(1+1/n)^{\alpha}-1)\log(n+1) - n^{\alpha}\log n = (n^{\alpha}(1+\alpha/n + o(1/n))-1)\log(n+1) - n^{\alpha}\log n$.
Non ti rimane che fare qualche conto e vedere cosa viene.
Per quanto riguarda il caso $\alpha > 0$, ti conviene distinguere i tre sottocasi
1) $0<\alpha <1$
2) $\alpha = 1$
3) $\alpha > 1$.
Nel caso 2) vedi subito che il termine generale è $>1$, quindi non può tendere a $0$.
Essendo la serie a termini positivi, divergerà a $+\infty$.
Il caso 3) lo tratti per confronto con il caso 2).
Rimane solo il caso $0<\alpha<1$.
Applicando il criterio del rapporto come hai già fatto, puoi passare in notazione esponenziale, ottenendo
$\exp[((n+1)^{\alpha}-1)\log(n+1) - n^{\alpha}\log n]$.
L'argomento dell'exp può essere scritto come
$[...] = (n^{\alpha}(1+1/n)^{\alpha}-1)\log(n+1) - n^{\alpha}\log n = (n^{\alpha}(1+\alpha/n + o(1/n))-1)\log(n+1) - n^{\alpha}\log n$.
Non ti rimane che fare qualche conto e vedere cosa viene.
Grazie mille. Vorrei solo capire come trattare con il confronto il caso $\alpha<0$ e $\alpha>1$
Per $\alpha \le 0$:
$0 < a_n \le 1/(n!)$; poiché $1/(n!)$ è il termine generale di una serie convergente (quella esponenziale), anche $\sum_n a_n$ converge.
Per $\alpha \ge 1$:
$a_n \ge n^n/(n!) \ge 1$, quindi $\sum a_n$ diverge a $+\infty$.
$0 < a_n \le 1/(n!)$; poiché $1/(n!)$ è il termine generale di una serie convergente (quella esponenziale), anche $\sum_n a_n$ converge.
Per $\alpha \ge 1$:
$a_n \ge n^n/(n!) \ge 1$, quindi $\sum a_n$ diverge a $+\infty$.
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