Serie a segni alterni non convergente, come si conclude?
Buongiorno, l'esercizio è il seguente:
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^(2n)\ln n}{\arctan^n(-n)}$
Si chiede di studiarne il carattere.
Ok allora, io ho iniziato mettendo in evidenza il $(−1)^n$ mostrando che si tratta di una serie a segni alterni:
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^(2n)\ln n}{-\arctan^n n} = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{2^(2n)\ln n}{\arctan^n n}$
Poi ho cercato di vedere se è possiible applicare Leibniz, studiando innanzi tutto il limite dell'argomento senza il $(−1)^n$:
$\lim_{n\to\infty}\frac{2^(2n)\ln n}{\arctan^n n}\approx\lim_{n\to\infty}\frac{2^(2n)\ln n}{(\pi/2)^n}=\lim_{n\to\infty}\frac{2^(3n)\ln n}{\pi^n}=\lim_{n\to\infty}(\frac{2^3}{\pi})^n\ln n=+\infty$
Quindi non è possibile applicare il criterio di Leibniz.
Ho provato anche ad usare il criterio dell'assoluta convergenza ma anche quello non da un risultato non convergente:
$|(-1)^n\frac{2^(2n)\ln n}{\arctan^n n}| = \frac{2^(2n)\ln n}{\arctan^n n}$
Applicando ora a questo argomento il criterio del rapporto per esempio ottengo un risultato > 1 che quindi determina la non convergenza della serie assoluta:
$\lim_{n\to\infty}\frac{(\pi/2)^3n+3 \ln(n+1)}{(\pi/2)^3n \ln n}=\frac{\pi^3}{8}$
Ora so solo che non è convergente, come faccio a dire che è divergente o indeterminata invece?
Grazie
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^(2n)\ln n}{\arctan^n(-n)}$
Si chiede di studiarne il carattere.
Ok allora, io ho iniziato mettendo in evidenza il $(−1)^n$ mostrando che si tratta di una serie a segni alterni:
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^(2n)\ln n}{-\arctan^n n} = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{2^(2n)\ln n}{\arctan^n n}$
Poi ho cercato di vedere se è possiible applicare Leibniz, studiando innanzi tutto il limite dell'argomento senza il $(−1)^n$:
$\lim_{n\to\infty}\frac{2^(2n)\ln n}{\arctan^n n}\approx\lim_{n\to\infty}\frac{2^(2n)\ln n}{(\pi/2)^n}=\lim_{n\to\infty}\frac{2^(3n)\ln n}{\pi^n}=\lim_{n\to\infty}(\frac{2^3}{\pi})^n\ln n=+\infty$
Quindi non è possibile applicare il criterio di Leibniz.
Ho provato anche ad usare il criterio dell'assoluta convergenza ma anche quello non da un risultato non convergente:
$|(-1)^n\frac{2^(2n)\ln n}{\arctan^n n}| = \frac{2^(2n)\ln n}{\arctan^n n}$
Applicando ora a questo argomento il criterio del rapporto per esempio ottengo un risultato > 1 che quindi determina la non convergenza della serie assoluta:
$\lim_{n\to\infty}\frac{(\pi/2)^3n+3 \ln(n+1)}{(\pi/2)^3n \ln n}=\frac{\pi^3}{8}$
Ora so solo che non è convergente, come faccio a dire che è divergente o indeterminata invece?
Grazie
Risposte
scusa, ma il limite del termine generale non esite, quindi ...
... è indeterminata e bon?
In effetti non è immediato rispondere. Sicuramente la serie non converge, cosa che puoi osservare immediatamente vedendo che il termine generale non tende a zero (non occorre fare tutte quelle cose che fai nel primo post). Ma potrebbe sia divergere a \(+\infty\), sia divergere a \(-\infty\), sia essere non regolare. Immagino si verifichi quest'ultima eventualità ma occorrerebbe dimostrarlo. In ogni caso non credo ti sia richiesto, ai fini dell'esercizio.
"dissonance":
In effetti non è immediato rispondere. Sicuramente la serie non converge, cosa che puoi osservare immediatamente vedendo che il termine generale non tende a zero (non occorre fare tutte quelle cose che fai nel primo post). Ma potrebbe sia divergere a \(+\infty\), sia divergere a \(-\infty\), sia essere non regolare. Immagino si verifichi quest'ultima eventualità ma occorrerebbe dimostrarlo. In ogni caso non credo ti sia richiesto, ai fini dell'esercizio.
L'esercizio richiede solo di studiare il carattere della serie, non altre particolari indicazioni, peraltro è un esercizio preso da un esame recente
La serie $ 2^(2n)lnn/(arctann)^n $ e' monotona crescente. Si potrebbero considerare le successioni delle somme parziali arrestate a un termine pari o dispari della serie a segni alterni.
Se indico con $ a_n $ il termine generico della serie preso in valore assoluto, per N dispari la somma parziale sara':
$ 0>sum_(n=1)^Na_n=-a_1+(a_2-a_3)+(a_4-a_5)+... $
dove $ a_5>a_4 $ per la monotonia (idem altri termini) e quindi tra le parentesi tonde ci sara' un numero negativo e la somma parziale sara' negativa.
Per le somme parziali arrestate a un termine pari M
$ 0
Segue che la successione delle somme parziali non puo' divergere a $ +oo $ perche' ho una sottosuccessione che diverge a $ -oo $ e ovviamente viceversa.
In conclusione la serie data non puo' divergere a $ +oo $ oppure $ -oo $, ma resta irregolare.
Se indico con $ a_n $ il termine generico della serie preso in valore assoluto, per N dispari la somma parziale sara':
$ 0>sum_(n=1)^Na_n=-a_1+(a_2-a_3)+(a_4-a_5)+... $
dove $ a_5>a_4 $ per la monotonia (idem altri termini) e quindi tra le parentesi tonde ci sara' un numero negativo e la somma parziale sara' negativa.
Per le somme parziali arrestate a un termine pari M
$ 0
Segue che la successione delle somme parziali non puo' divergere a $ +oo $ perche' ho una sottosuccessione che diverge a $ -oo $ e ovviamente viceversa.
In conclusione la serie data non puo' divergere a $ +oo $ oppure $ -oo $, ma resta irregolare.
@ostrogoto: OK! Un piccolissimo appunto: penso che tu non abbia dimostrato che le somme parziali dispari divergano, ma solo che sono negative. Il che comunque è sufficiente ad escludere che la successione delle somme parziali possa divergere a $+\infty$. Similmente per le somme pari.
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