Serie a segni alterni e serie con una successione per ricorrenza

[joninho]

Qualcuno mi potrebbe aiutare a studiare il carattere di queste serie?

$ sum_(n = 1) (-1)^ n2^n(sin^(2n)x)/(n) $

$ sum_(n = 1) an $ dove $ { ( an=1 ),( an+1 = 1/4sin an ):} $ $ n>= 1 $

entrambe vanno da 1 a infinito e nella seconda x è un parametro in R

Nella prima se considero la serie dei || ottengo $ sum_(n = 1)|(-1)^n 2^nsin^(2n)x/n| $
da cui $ sum_(n = 1) 2^n|sin^(2n)x|/|n| $
qui posso considerare questa maggiorazione? $ (-1)^(2n) <= sin^(2n)x <= (1)^(2n) $
Sono su una pista buona o completamente errata? Qualche consiglio su come procedere?

Nella seconda serie non saprei proprio da dove iniziare

[dissonance]

Ma no, ti dovrebbe scattare un campanello d'allarme nel vedere quel termine $2^n$. Stiamo parlando di numeri giganteschi, come fa quella serie a convergere assolutamente? E' chiaro che devi andare a ragionare sulla convergenza a segni alterni.

Per la seconda serie parli del parametro $x$ ma poi nella definizione non lo vedo.