Serie a segni alterni con parametro Reale
Mi potreste aiutare a capire come si deve svolgere questo esercizio? Io ho provato con il criterio di Leibniz
Studiare al variare del parametro reale "a" il carattere della seguente serie $\sum_{k=1}^infty(-1)^n((a^2-2)/(a+4))^n$
e laddove possibile calcolare la somma.
Studiare al variare del parametro reale "a" il carattere della seguente serie $\sum_{k=1}^infty(-1)^n((a^2-2)/(a+4))^n$
e laddove possibile calcolare la somma.
Risposte
Beh innanzi tutto per comodità possiamo riscrivere la serie come
$$
\sum_{n=1}^\infty(-1)^nk^n
$$
dove $k=\frac{a^2-2}{a+4}$ in questo modo è immediato notare che la serie è irregolare per $k\ge 1$ poiché il termine generale non ha limite, poi la serie converge per $0
infine per $k<0$ la serie non è più a segni alterni infatti avremmo che
$$
\sum_{n=1}^\infty(-1)^nk^n=
\sum_{n=1}^\infty(-1)^n(-|k|)^n=\sum_{n=1}^\infty(-1)^n(-1)^n(|k|)^n=\sum_{n=1}^\infty(-1)^{2n}(|k|)^n=\sum_{n=1}^\infty|k|^n
$$
e quest ultima per il confronto con la serie geometrica converge per $-1
la serie è irregolare se $k\ge 1$
la serie converge se $-1
a questo punto non ti resta che sostituire $k$ con la frazione originaria e studiare queste 4 semplici disequazioni fratte.
$$
\sum_{n=1}^\infty(-1)^nk^n
$$
dove $k=\frac{a^2-2}{a+4}$ in questo modo è immediato notare che la serie è irregolare per $k\ge 1$ poiché il termine generale non ha limite, poi la serie converge per $0
infine per $k<0$ la serie non è più a segni alterni infatti avremmo che
$$
\sum_{n=1}^\infty(-1)^nk^n=
\sum_{n=1}^\infty(-1)^n(-|k|)^n=\sum_{n=1}^\infty(-1)^n(-1)^n(|k|)^n=\sum_{n=1}^\infty(-1)^{2n}(|k|)^n=\sum_{n=1}^\infty|k|^n
$$
e quest ultima per il confronto con la serie geometrica converge per $-1
la serie è irregolare se $k\ge 1$
la serie converge se $-1
a questo punto non ti resta che sostituire $k$ con la frazione originaria e studiare queste 4 semplici disequazioni fratte.
E la somma?? Graziee
Beh per $-1
Per $k\le 1$ la serie diverge a $+\infty$ , per $k\ge 1$ la somma non esiste.
Per $k\le 1$ la serie diverge a $+\infty$ , per $k\ge 1$ la somma non esiste.
Perché hai fatto un bump dell'argomento ?
cosa ancora non ti è chiaro?
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