Serie a segni alterni

[max9661]

Ciao a tutti, sono nuovo del forum, appena registrato.
Mi sono imbattuto in una tipica serie a segni alternati e, dovendone studiare il carattere ho potuto solo affermare, usando il criterio di Leibnitz e quello della convergenza assoluta, che la mia serie non è convergente.
Qualcuno di voi conosce altri strumenti per stabilire il carattere di una tale serie?

grazie in anticipo

[Antomus1]

No......sono solo questi.....ma comunque se applicando questi criteri arrivi al risultato che la serie non è convergente, essa oscilla.....

[regim]

Le serie a segni alterni i cui moduli dei termini formano una successione monotona che converge a zero, converge sempre.
Ma questa serie può essere studiata con un criterio più generale, che discende dalla riduzione per parti della serie.
Cioè, se hai una serie i cui termini sono il prodotto di due successioni, puoi utilmente riscrivere la somma dei suoi termini da [tex]m[/tex]a [tex]n>m[/tex] in un modo più conveniente, cioè:

data la serie [tex]\sum{a_n b_n}[/tex], puoi riscriverla in questo modo, assumendo [tex]A_k[/tex] la somma parziale di ordine [tex]k[/tex]della sola serie [tex]a_k[/tex] e, convenzionalmente, [tex]A_0 = 0[/tex] :

[tex]\sum_{k=m}^{n}{a_k b_k} = {\sum_{k=m}^{n-1}} A_k (b_k - b_{k+1}) + A_nb_n - A_{m-1}b_m[/tex]

Per applicare il criterio di cauchy ti basta allora sapere che la serie [tex]b_n[/tex] sia positiva monotona e convergente a zero mentre l'altra [tex]a_n[/tex] a somma parziali limitate, come lo è la serie per esempio i cui termini sono [tex]{-1,1,-1,1.....}[/tex].

[gugo82]

La riscrittura delle somme parziali che propone regim è più nota come metodo di sommazione di Abel, o come formula di sommazione per parti.