Serie a segni alterni
Salve,
ho questo esercizio:
$\sum_{n=1}^\infty (-1)^n(n^5/4^n)$
precisare se si tratta di convergenza semplice o assoluta; se possibile, calcolare
una somma approssimata a meno di $1/200$
Dal momento che $n^5/4^n >0 AA n in NN$ e la serie è di segno alterno provo ad usare il criterio di Leibniz:
1) $\lim_{n \to \infty}(n^5/4^n)=0$
2) devo dimostrare che $n^5/4^n$ è definitivamente decrescente quindi:
$n^5/4^n>(n+1)^5/4^(n+1)\rArrn^5/4^n-(n+1)^5/4^(n+1)>0\rArr(n^6-(n+1)^5)/4^(n+1)>0$
dato che bisogna dimostrare che sia definitivamente decrescente basta considerare da $n>10$ e noto che $10^6>11^5$ quindi possiamo affermare che $(n^6-(n+1)^5)/4^(n+1)>0$ è definitivamente vera e quindi che $n^5/4^n>(n+1)^5/4^(n+1)$ è altrettanto vera c.v.d.
Dimostrati i due punti possiamo affermare che la serie converge
Ora viene il problema della somma, dove ho un po' di problemi. Uso la formula $|S-S_n|<=b_(n+1)$
$1/200<=(n+1)^5/4^(n+1)$ ma a questo punto non ho idea di come risolvere la disequazione.
Grazie in anticipo a chiunque mi aiuti.
ho questo esercizio:
$\sum_{n=1}^\infty (-1)^n(n^5/4^n)$
precisare se si tratta di convergenza semplice o assoluta; se possibile, calcolare
una somma approssimata a meno di $1/200$
Dal momento che $n^5/4^n >0 AA n in NN$ e la serie è di segno alterno provo ad usare il criterio di Leibniz:
1) $\lim_{n \to \infty}(n^5/4^n)=0$
2) devo dimostrare che $n^5/4^n$ è definitivamente decrescente quindi:
$n^5/4^n>(n+1)^5/4^(n+1)\rArrn^5/4^n-(n+1)^5/4^(n+1)>0\rArr(n^6-(n+1)^5)/4^(n+1)>0$
dato che bisogna dimostrare che sia definitivamente decrescente basta considerare da $n>10$ e noto che $10^6>11^5$ quindi possiamo affermare che $(n^6-(n+1)^5)/4^(n+1)>0$ è definitivamente vera e quindi che $n^5/4^n>(n+1)^5/4^(n+1)$ è altrettanto vera c.v.d.
Dimostrati i due punti possiamo affermare che la serie converge
Ora viene il problema della somma, dove ho un po' di problemi. Uso la formula $|S-S_n|<=b_(n+1)$
$1/200<=(n+1)^5/4^(n+1)$ ma a questo punto non ho idea di come risolvere la disequazione.
Grazie in anticipo a chiunque mi aiuti.
Risposte
Da dove esce $n^6$?
Ad ogni buon conto, la sucessione degli addendi è infinitesima d'ordine infinitamente elevato; dunque c'è convergenza assoluta per ordine di infinitesimo.
Per quanto riguarda la stima della somma, devi cercare di risovere "a occhio" (giacché non è elementare) la disequazione $200 n^5 < 4^n$.
Una soluzione dovrebbe essere $n=14$, ma ho faticato per trovarla.
Ad ogni buon conto, la sucessione degli addendi è infinitesima d'ordine infinitamente elevato; dunque c'è convergenza assoluta per ordine di infinitesimo.
Per quanto riguarda la stima della somma, devi cercare di risovere "a occhio" (giacché non è elementare) la disequazione $200 n^5 < 4^n$.
Una soluzione dovrebbe essere $n=14$, ma ho faticato per trovarla.
prima di tutto io invertirei l'ultima disequazione che hai scritto: $(n+1)^5/4^(n+1) < 1/200$ ed in secondo luogo io non risolverei. prova a dare qualche valore e vedi cosa esce. per esempio in questa si vede che la disequazione si è verificata con $n=13$ e quindi una stima della somma è $S_(13)$. ed ora la calcoli (tediosamente), sommando i termini fino a 13
"gugo82":
Una soluzione dovrebbe essere n=14, ma ho faticato per trovarla
secondo me è uno in meno. già con 13 a me viene soddisfatta
@ cooper: Perché tu, da bravo bambino hai risolto la disequazione "corretta", i.e. $a_{n+1} < 1/(200)$; mentre io, da discolo quale sono, ho risolto $a_n<1/(200)$ con l'intento di traslare la soluzione solo a posteriori. 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo