Serie a segni alterni

[Reyzet]

Ciao a tutti mi servirebbe una mano per risolvere tale serie, che credo essere a segni alterni e ha termine generale infinitesimo
(Scrivo il termine generale, va da 1 a infinito)
$ 1-((cos(1/n))^((-1)^n)) $
Purtroppo non capisco come muovermi in questo caso...Un aiuto? Grazie

[SalvatCpo]

Spero che il mio ragionamento sia corretto e privo di sviste.

[Reyzet]

Grazie della risposta , il problema è che non ci hanno ancora spiegato gli sviluppi in serie di Taylor. Ci sono modi diversi di proseguire?

[SalvatCpo]

Beh... il coseno può essere sia positivo che negativo...
Comunque il termine An, grazie all'1 che sta prima del coseno,
è maggiore o uguale di 0, perché gli sottrai il coseno che può essere al massimo
1, quindi al limite An=0, ma mai sotto.
Quindi sappiamo che NON è una serie a segni alterni o variabili.

Poi sai che NON è soddisfatta la condizione necessaria di convergenza, perché per
n-> infinito hai 1-cos(?) , dunque una situazione indeterminabile, quindi questo limite non è 0 e ciò vuol dire che la serie non può convergere.
Sai anche che la funzione non è oscillante perché tutti i termini sono non negativi.

Quindi direi che ciò basta per affermare che la serie diverge positivamente.

[Reyzet]

Beh però scusami si il coseno è sempre positivo perché ha argomento tra 0 e 1, ma Volendo c'è (-1) all'esponente quando n dispari. Diventerebbe 1/cos(..) che è maggiore di 1 (dato che il coseno è come hai detto minore di 1) E sarebbe negativo perché c'è 1- davanti. Per il limite avendo argomento infinitesimo il cos tende a 1 quindi avrei 1-1=0, almeno credo

[SalvatCpo]

Ti sbagli. L'esponente è riferito all'argomento del coseno, NON al coseno.
E per qualsiasi argomento, il coseno è fra -1 e 1.

[Reyzet]

Hai ragione scusa, ho fatto una gaffe, ho sbagliato a copiare il testo (non sono molto pratico in questo), infatti l'esponente è sul coseno cerco di correggere

[Reyzet]

Up

[Reyzet]

up!

[otta96]

Prova a studiare l'assoluta convergenza confrontando la serie con quella di termine $1/n^2$ distinguendo i casi $n$ pari e $n$ dispari.

[SalvatCpo]

Ma per poterlo fare dovrebbe conoscere gli sviluppi di Taylor-McLaurin... O c'è qualche limite "notevole"?

[otta96]

Dovrebbe bastare la conoscenza dei limiti notevoli.

[Reyzet]

Grazie delle risposte, Per entrambi i casi tende a 1/2 quindi dovrebbe convergere, ma non capisco una cosa: in una successione io posso concludere che se le estratte pari e dispari convergono allo stesso limite allora la successione converge, qui il principio è lo stesso solo che la convergenza del caso pari e dispari non è quella di una successione ma di una serie (difatti per la convergenza assoluta uso il confronto asintotico)...quindi cioè come si dovrebbe arrivare a dire che converge assolutamente la serie? (Non so se mi sono spiegato bene )

[SalvatCpo]

Allora... ora che rivedo la serie... la successione dei termini con n pari mi sembra essere una serie a termini positivi convergente assolutamente e quindi anche semplicemente... quindi ora tutto dipende solo dalla serie degli n dispari.

Se la serie dei termini con n dispari converge assolutamente, allora converge semplicemente, dunque converge semplicemente la serie generale.

Quello che secondo me sarebbe difficile da dimostrare (e spero dunque che non ti interessi), è che la serie generale converge assolutamente.

[otta96]

"Reyzet":Per entrambi i casi tende a 1/2

Anche a me.

quindi dovrebbe convergere

Esatto.

ma non capisco una cosa: in una successione io posso concludere che se le estratte pari e dispari convergono allo stesso limite allora la successione converge, qui il principio è lo stesso solo che la convergenza del caso pari e dispari non è quella di una successione ma di una serie (difatti per la convergenza assoluta uso il confronto asintotico)...quindi cioè come si dovrebbe arrivare a dire che converge assolutamente la serie? (Non so se mi sono spiegato bene )

Metto in evidenza i passaggi concettuali perché secondo me si capisce meglio senza badare ai conti (dopo averli fatti! ):
-hai la serie;
-studi la convergenza assoluta;
-confronti la successione dei valori assoluti con $1/n^2$;
-sfrutti il risultato che hai ricordato tu stesso e noti che il limite del rapporto fa $1/2$;
-dunque per il teorema del confronto asintotico hai che la convergenza assoluta della tua serie è equivalente alla convergenza delle serie di termine $n$-esimo $1/n^2$;
-quindi la tua serie è convergente assolutamente.

[Reyzet]

Quindi converge assolutamente perché per ogni n il termine valore assoluto è "asintotico"(per così dire) a quello della serie armonica? Non riesco a capire benissimo questo fatto dei termini pari e dispari nelle serie

[otta96]

Il fatto è che la distinzione tra termini pari e dispari la fai quando pensi alla successione, non alla serie, cosa che sembra che sai già come fare perché hai scritto questo:

"Reyzet":in una successione io posso concludere che se le estratte pari e dispari convergono allo stesso limite allora la successione converge

È esattamente questo che stai usando, inoltre rifletti sul fatto che la distinzione tra termini di indice pari e dispari la fai solo perché ti fa comodo, diciamo che è solo un trucco, non una cosa sostanziale.