Serie
Salve a tutti 
Ho consultato diverse volte questo forum durante la preparazione dell' esame di analisi due e ,devo ammettere, che mi è stato di grande aiuto .Tuttavia ci sono ancora degli esercizi sui quali ho dei dubbi come il seguente : $\sum_{n=0}^\infty\e^(nx+cosn)$
Ho posto y=e^x così da ricondurmi a una serie di potenze il cui termine generale è semplicemente cos n ;tuttavia l'esercizio mi chiedeva di determinare l'insieme di convergenza e ,dunque, andando ad applicare il criterio del rapporto, mi veniva fuori il limite di cos n ,che non esiste.Ho ,infine, provato a risolvere il criterio del rapporto considerando non più lim e ^(cosn) ma e^(lim cosn) così mi è venuta una cosa definita però non sono convinta dell'esattezza del ragionamento. Spero di essere stata chiare nell'esposizione
Grazie a tutti in anticipo 
Ho consultato diverse volte questo forum durante la preparazione dell' esame di analisi due e ,devo ammettere, che mi è stato di grande aiuto .Tuttavia ci sono ancora degli esercizi sui quali ho dei dubbi come il seguente : $\sum_{n=0}^\infty\e^(nx+cosn)$ Ho posto y=e^x così da ricondurmi a una serie di potenze il cui termine generale è semplicemente cos n ;tuttavia l'esercizio mi chiedeva di determinare l'insieme di convergenza e ,dunque, andando ad applicare il criterio del rapporto, mi veniva fuori il limite di cos n ,che non esiste.Ho ,infine, provato a risolvere il criterio del rapporto considerando non più lim e ^(cosn) ma e^(lim cosn) così mi è venuta una cosa definita però non sono convinta dell'esattezza del ragionamento. Spero di essere stata chiare nell'esposizione
Grazie a tutti in anticipo
Risposte
"*Vanna*":
Ho posto y=e^x così da ricondurmi a una serie di potenze il cui termine generale è semplicemente cos n;
Puoi postare tutti i passaggi ? Non mi torna...
Eccoli :
e^(nx+cosn)=e^(nx)*e^cosn
Pongo y= e^x così ottengo y^n * e^cosn ( Avevi ragione ho sbagliato a scrivere il termine generale,ti chiedo scusa xD).Ho,comunque, applicato il criterio del rapporto per determinare il raggio di convergenza nel modo seguente : e^Lim cos(n+1) / cosn !!!Che ne dici??
e^(nx+cosn)=e^(nx)*e^cosn
Pongo y= e^x così ottengo y^n * e^cosn ( Avevi ragione ho sbagliato a scrivere il termine generale,ti chiedo scusa xD).Ho,comunque, applicato il criterio del rapporto per determinare il raggio di convergenza nel modo seguente : e^Lim cos(n+1) / cosn !!!Che ne dici??
"*Vanna*":
Eccoli :
e^(nx+cosn)=e^(nx)*e^cosn
Pongo y= e^x così ottengo y^n * e^cosn ( Avevi ragione ho sbagliato a scrivere il termine generale,ti chiedo scusa xD).Ho,comunque, applicato il criterio del rapporto per determinare il raggio di convergenza nel modo seguente : e^Lim cos(n+1) / cosn !!!Che ne dici??
Un mio caro amico direbbe: "A'mparate LaTeX!"
( ... dai al secondo messaggio si puo' essere comprensivi )Torniamo a noi...
... Dico che viene un po' uno schifo; perché non provi il criterio della radice?
*______* il criterio della radice!!!Applicandolo mi riconduco facilmente a un limite notevole e così il raggio di convergenza dovrebbe essere 1.Come ho fatto a non pensarci prima xD?? Ti ringrazio tantissimo mi sei stato di grande aiuto
P.S. Mi sono appena iscritta,prometto che imparerò LaTeX
mi sei stato di grande aiuto P.S. Mi sono appena iscritta,prometto che imparerò LaTeX
"*Vanna*":
*______* il criterio della radice!!!Applicandolo mi riconduco facilmente a un limite notevole e così il raggio di convergenza dovrebbe essere 1.Come ho fatto a non pensarci prima xD?? Ti ringrazio tantissimo
P.S. Mi sono appena iscritta,prometto che imparerò LaTeX
Per completezza, la soluzione era $x \in$ $(-oo, 0)$ , la serie converge in questo intervallo.
P.S. Abbrava!
Infatti non mi trovo 
Il mio intervallo di convergenza era $( - oo , -1)$ ,in quanto 1/p = e^ $lim_{n\to\infty} (cos(n))/n = lim_{n\to\infty} [sin(( \pi /2) -n) * ( \pi/2 -n)]/[n*( \pi/2 -n)] = 1 + (-1)=-1$.
Il raggio di convergenza mi viene uguale a $e^(-1)$.Dopo che ho verificato cosa succede negli estremi ho dedotto che l'intero intervallo era quello su scritto. Non mi sembra di aver fatto errori nel calcolo del limite oppure ,cosa più probabile, non me ne rendo conto;ti ho scritto tutti passaggi affinché tu mi possa illuminare però non vorrei approfittarne
Il mio intervallo di convergenza era $( - oo , -1)$ ,in quanto 1/p = e^ $lim_{n\to\infty} (cos(n))/n = lim_{n\to\infty} [sin(( \pi /2) -n) * ( \pi/2 -n)]/[n*( \pi/2 -n)] = 1 + (-1)=-1$.Il raggio di convergenza mi viene uguale a $e^(-1)$.Dopo che ho verificato cosa succede negli estremi ho dedotto che l'intero intervallo era quello su scritto. Non mi sembra di aver fatto errori nel calcolo del limite oppure ,cosa più probabile, non me ne rendo conto;ti ho scritto tutti passaggi affinché tu mi possa illuminare però non vorrei approfittarne
"*Vanna*":
Infatti non mi trovo
Il raggio di convergenza mi viene uguale a $e^(-1)$.Dopo che ho verificato cosa succede negli estremi ho dedotto che l'intero intervallo era quello su scritto. Non mi sembra di aver fatto errori nel calcolo del limite oppure ,cosa più probabile, non me ne rendo conto;ti ho scritto tutti passaggi affinché tu mi possa illuminare però non vorrei approfittarne
Come siamo complicati... $cos(n)$ è una quantità limitata... viene divisa da qualcosa che va ad $oo$ .........
Un poco più rigorosamente:
$ lim_{n\to\infty} -1/n < lim_{n\to\infty} (cos(n))/n < lim_{n\to\infty} 1/n $ ... applica il Teorema del Confronto.
Eh si hai perfettamente ragione.Ho commesso un errore nel calcolo del limite,in quanto ho considerato il limite notevole $\lim_{n \ to \infty}sin x_n / x_n = 1 $ quando ,invece, il mio argomento non tende a zero 
. Ora si che mi sembra tutto più chiaro grazie mille 
. Ora si che mi sembra tutto più chiaro grazie mille
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