Serie
Ciao, ho alcuni dubbi su alcune serie in cui devo calcolare la convergenza :
1)
Σ (5n+4^n)/(log(n)+5^n)
Mi è stato insegnato che con le potenze si può esare il criterio del rapporto, ma in questo caso viene molto complicato.
Utilizzando invece il confronto asintotico, posso trascurare 5n e log(n) ? se così fosse otterrei(4/5)^ che è una serie geometrica con ragione <1 quindi converge.
E' giusto questo mio ragionamento? posso trascurare 5n e log(n) ?
2)
Σ (n + e^(-n))/(2n^2+3)
Per questa serie ho trascurato il +3 e provato a portare al denominatore e^-n, ottenendo n / (2n^2 + e^n)
Ma non sono sicuro se si possa fare un'operazione del genere.
Grazie
1)
Σ (5n+4^n)/(log(n)+5^n)
Mi è stato insegnato che con le potenze si può esare il criterio del rapporto, ma in questo caso viene molto complicato.
Utilizzando invece il confronto asintotico, posso trascurare 5n e log(n) ? se così fosse otterrei(4/5)^ che è una serie geometrica con ragione <1 quindi converge.
E' giusto questo mio ragionamento? posso trascurare 5n e log(n) ?
2)
Σ (n + e^(-n))/(2n^2+3)
Per questa serie ho trascurato il +3 e provato a portare al denominatore e^-n, ottenendo n / (2n^2 + e^n)
Ma non sono sicuro se si possa fare un'operazione del genere.
Grazie
Risposte
1. Ok.
2. Non serve portare esponenziali al denominatore (cosa che, tra l'altro hai fatto in maniera scorretta).
Osserva che quell'esponenziale al numeratore sta tendendo a zero molto in fretta, quindi diventa asintoticamente trascurabile rispetto a \(n\); conseguentemente...
2. Non serve portare esponenziali al denominatore (cosa che, tra l'altro hai fatto in maniera scorretta).
Osserva che quell'esponenziale al numeratore sta tendendo a zero molto in fretta, quindi diventa asintoticamente trascurabile rispetto a \(n\); conseguentemente...
quindi se trascuro e^-n, ottengo n/2n^2, semplificando 1/n che è una serie armonica con esponente 1 quindi diverge?
Sembrerebbe proprio di sì.
Perfetto, quindi giusto per essere sicuro
Σ ((n^(1/3))+(n^(1/5))/ (n^2+2n)
Usando il confronto asintotico al numeratore posso trascurare la radice quinta di n, e al denominatore il 2n.
In questa maniera porta la radice terza di n al denominatore e ottengo : 1/(n^(2-1/3).
E' una serie geometrica con esponente 5/3 quindi Converge.
Σ ((n^(1/3))+(n^(1/5))/ (n^2+2n)
Usando il confronto asintotico al numeratore posso trascurare la radice quinta di n, e al denominatore il 2n.
In questa maniera porta la radice terza di n al denominatore e ottengo : 1/(n^(2-1/3).
E' una serie geometrica con esponente 5/3 quindi Converge.
"aniston":
Perfetto, quindi giusto per essere sicuro
Σ ((n^(1/3))+(n^(1/5))/ (n^2+2n)
Usando il confronto asintotico al numeratore posso trascurare la radice quinta di n, e al denominatore il 2n.
In questa maniera porta la radice terza di n al denominatore e ottengo : 1/(n^(2-1/3).
E' una serie geometrica con esponente 5/3 quindi Converge.
sarebbe questa la serie? $\sum (n^{1/3}+n^{1/5})/(n^2+2n)$
per rendere effettivo il testo inserisci sia all'inizio sia alla fine il seguente simbolo $
$ Σ (n^(1/3)+n^(1/5))/ (n^2+2n) $
Si è questa!
Si è questa!
"aniston":
$ Σ (n^(1/3)+n^(1/5))/ (n^2+2n) $
Si è questa!
allora SI hai fatto giusto che $a_n=(n^(1/3)+n^(1/5))/ (n^2+2n) \sim (n^{1/3})/(n^2)=(1)/(n^{2-1/3}) $ per $n\rightarrow+\infty$
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