Serie

[sradesca]

ragazzi ho problemi con la seguente serie
$\sum_{k=2}^N 1/logk$ ho usato Taylor e rapporto e mi viene convergente, è giusto?
Poi con la seguente
$\sum_{k=1}^N 1/(logk)^logk$ e qui non so proprio cosa applicare..

[Covenant]

"simo90":ragazzi ho problemi con la seguente serie
$\sum_{k=2}^N 1/logk$ ho usato Taylor e rapporto e mi viene convergente, è giusto?
Poi con la seguente
$\sum_{k=1}^N 1/(logk)^logk$ e qui non so proprio cosa applicare..

La prima diverge, in quanto $1/lnk$ è infinitesimo d'ordine minore di $1/k$ (confronto con la serie armonica).

La seconda serie converge ma dimostrarlo credo sia un po' più palloso. Si potrebbe sfruttare il criterio di condensazione ad esempio.

[sradesca]

ok grazie

[sradesca]

una domanda, un po' banale, perché $1/n^2$ converge?

[Covenant]

"simo90":una domanda, un po' banale, perché $1/n^2$ converge?

In generale sei hai la serie: $sum 1/n^(\alpha)$ essa converge se e solo se $\alpha>1$, diverge negli altri casi.

Questo fatto si può dimostrare in vari modi, ad esempio ricorrendo ancora al criterio di condensazione.

[21zuclo]

"simo90":
$\sum_{k=1}^N 1/(logk)^logk$ e qui non so proprio cosa applicare..

io farei così

$(\ln k)^{\ln k}=\exp\{\ln((\ln k)^{\ln k})\}=\exp\{\ln k\cdot \ln(\ln k)\}= k^{\ln(\ln k)}$

quindi hai $b_n= (1)/(k^{\ln(\ln k)})$

e fai per confronto $k^{\ln(\ln k)}\geq k^2$

Per il criterio del confronto quindi la serie converge..

[sradesca]

ho un'altra domanda. perché mi dice che $log(n)\simn^(1/3)$?

[Covenant]

"simo90":ho un'altra domanda. perché mi dice che $log(n)\simn^(1/3)$?

Chi te lo dice? è falso.