Serie
Salve,
Chi può darmi una mano con questo esercizio?
Descrivere al carattere della seguente serie:
$ Sigma arctg(1/n)*1/(ln(n))^2$
Ho provato col criterio degli infinitesimi, ma alla fine il risultato del limite non soddisfaceva nessuna delle condizioni!
Cosa mi consigliate?
Chi può darmi una mano con questo esercizio?
Descrivere al carattere della seguente serie:
$ Sigma arctg(1/n)*1/(ln(n))^2$
Ho provato col criterio degli infinitesimi, ma alla fine il risultato del limite non soddisfaceva nessuna delle condizioni!
Cosa mi consigliate?
Risposte
$\sum \arctan (1/n)(1)/(\ln^2n)$
usa il criterio asintotico!.. qui $a_n \sim 1/n (1)/(\ln^2n)$
quindi bisogna studiare il comportamento di $\sum (1)/(n(\ln^2n))$
che è la serie di Abel, cioè quella serie $\sum (1)/(n^p(\ln^qn))$, che CONVERGE \(\displaystyle \Leftrightarrow \) $ { ( p>1 ),( forall q\in\mathbb{R} ):} \vee {(p=1),(q>1):}$
è proprio il tuo caso il secondo sistema, perchè hai $p=1$ e $q=2$ che è $>1$
perciò la tua serie di partenza $\sum a_n$ CONVERGE!
usa il criterio asintotico!.. qui $a_n \sim 1/n (1)/(\ln^2n)$
quindi bisogna studiare il comportamento di $\sum (1)/(n(\ln^2n))$
che è la serie di Abel, cioè quella serie $\sum (1)/(n^p(\ln^qn))$, che CONVERGE \(\displaystyle \Leftrightarrow \) $ { ( p>1 ),( forall q\in\mathbb{R} ):} \vee {(p=1),(q>1):}$
è proprio il tuo caso il secondo sistema, perchè hai $p=1$ e $q=2$ che è $>1$
perciò la tua serie di partenza $\sum a_n$ CONVERGE!
Ti puo' essere utile il http://it.wikipedia.org/wiki/Criterio_di_condensazione_di_Cauchy (basta la prima parte dell'enunciato).
"21zuclo":
$\sum \arctan (1/n)(1)/(\ln^2n)$
usa il criterio asintotico!.. qui $a_n \sim 1/n (1)/(\ln^2n)$
quindi bisogna studiare il comportamento di $\sum (1)/(n(\ln^2n))$
che è la serie di Abel, cioè quella serie $\sum (1)/(n^p(\ln^qn))$, che CONVERGE \(\displaystyle \Leftrightarrow \) $ { ( p>1 ),( forall q\in\mathbb{R} ):} \vee {(p=1),(q>1):}$
è proprio il tuo caso il secondo sistema, perchè hai $p=1$ e $q=2$ che è $>1$
perciò la tua serie di partenza $\sum a_n$ CONVERGE!
Non abbiamo studiato la serie di Abel... c'è un altro sistema?
allora questa serie $\sum (1)/(n^p (\ln^q n))$
alcuni la chiamano serie di Abel, molti altri testi e professori non dicono come si chiama.
Molto probabilmente l'hai vista a lezione. Sui libri e a lezione viene messa nelle serie definite "campione", tipo la serie armonica generalizzata $\sum 1/n^\alpha$ che converge solamente quando $\alpha>1$
se vai a vedere sul tuo testo sicuramente troverai questa serie campione $\sum (1)/(n^p (\ln^q n))$, che è detta Serie di Abel. Molti omettono il suo nome. La sua dimostrazione 1 po' lunga!
Comunque questo che ho fatto io è il metodo più semplice e veloce.
alcuni la chiamano serie di Abel, molti altri testi e professori non dicono come si chiama.
Molto probabilmente l'hai vista a lezione. Sui libri e a lezione viene messa nelle serie definite "campione", tipo la serie armonica generalizzata $\sum 1/n^\alpha$ che converge solamente quando $\alpha>1$
se vai a vedere sul tuo testo sicuramente troverai questa serie campione $\sum (1)/(n^p (\ln^q n))$, che è detta Serie di Abel. Molti omettono il suo nome. La sua dimostrazione 1 po' lunga!
Comunque questo che ho fatto io è il metodo più semplice e veloce.
"21zuclo":
sul tuo testo sicuramente troverai questa serie campione $\sum (1)/(n^p (\ln^q n))$, che è detta Serie di Abel. Molti omettono il suo nome. La sua dimostrazione 1 po' lunga!
Lunga?
Mah... A me pare che col criterio di condensazione e distinguendo un paio di casi si risolva tutto in due minuti.
Le dimostrazioni lunghe sono altre.
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