Serie
Ciao,
Vorrei qualche aiuto su come tentare di studiare la convergenza assoluta e la convergenza semplice.
la serie che devo studiare è la seguente:
$ sum_(n = 2)^(oo ) (sin ^2(1/n) ) / ( log^2(n) * (e^(1/n)-1) ) $
dal momento che non è una serie a termini positivi ( cosi mi sembra) ho iniziato a studiare la convergenza assoluta ( con la speranza che converga assolutamente in modo da risolvere tutti i miei problemi). Ma mi trovo a questo punto e non so bene come procedere( in modo corretto!)..
$ sum_(n = 2)^(oo )((sin ^2(1/n) ) / ( log^2(n) ) )* |1/(e^(1/n) -1)| $
Vorrei qualche aiuto su come tentare di studiare la convergenza assoluta e la convergenza semplice.
la serie che devo studiare è la seguente:
$ sum_(n = 2)^(oo ) (sin ^2(1/n) ) / ( log^2(n) * (e^(1/n)-1) ) $
dal momento che non è una serie a termini positivi ( cosi mi sembra) ho iniziato a studiare la convergenza assoluta ( con la speranza che converga assolutamente in modo da risolvere tutti i miei problemi). Ma mi trovo a questo punto e non so bene come procedere( in modo corretto!)..
$ sum_(n = 2)^(oo )((sin ^2(1/n) ) / ( log^2(n) ) )* |1/(e^(1/n) -1)| $
Risposte
ahhhh.... non son passati neanche due mesi da analisi e non ricordo più una...
Comunque
$lim_{x->0 }(e^x-1)/x = 1$
$lim_{x->0} sin x = x$
Quindi il termine della serie approssima $(1)/(n log^2n)<1/n$ quindi la serie converge... ?
Comunque
$lim_{x->0 }(e^x-1)/x = 1$
$lim_{x->0} sin x = x$
Quindi il termine della serie approssima $(1)/(n log^2n)<1/n$ quindi la serie converge... ?
in poche parole vorresti dire che la mia serie è asintotica a $ 1/(n*log^2(n)) $
dopodichè fai un contronto con la la serie $1/n$ per determinarne la convergenza?
dopodichè fai un contronto con la la serie $1/n$ per determinarne la convergenza?
esatto
il fatto è che non vedo come possano essere asintotici. Ho capito quello che vuoi dirmi ma non sono sicuro che sia giusto, e la mia insicurezza deriva dal fatto che se faccio:
$ lim_(n -> oo)( An) / (Bn) $
Dove $An$ è la funzione della serie e $Bn$ quella che mi dici essere asintotica mi viene + infinito.
Quindi mi risulta che non sono asintotiche.
sbaglio io?
$ lim_(n -> oo)( An) / (Bn) $
Dove $An$ è la funzione della serie e $Bn$ quella che mi dici essere asintotica mi viene + infinito.
Quindi mi risulta che non sono asintotiche.
sbaglio io?
si mi sa sbaglio io perchè considerando i limiti notevoli il limite dovrebbe farmi 1. e quindi risultano asintotiche.
GRAZIE MILLE !!
GRAZIE MILLE !!
e tutto giusto quello che mi hai scritto tranne la conclusione comunqu, perchè $1/n$ diverge e quindi quel confronto non è utile e non puoi dire che la serie converge. in ogni caso dovrei poter risolvere $1/ (n*(log^2(n)))$ utilizzando la serie notevole
La serie \(\sum \frac{1}{n\ \log^2 n}\) converge per il criterio integrale.
"gugo82":
La serie \(\sum \frac{1}{n\ \log^2 n}\) converge per il criterio integrale.
...o per il creiterio di condensazione di Cauchy ...
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